Задачи по теории финансов теорема Фишера




страница4/6
Дата22.04.2016
Размер0.52 Mb.
1   2   3   4   5   6

4. Теория портфеля

37. Даны два портфеля:







Доходность

Доля







Доходность

Доля

A

10%

0,1




A

10%

0,6

B

20%

0,2




D

15%

0,3

C

5%

0,7




E

25%

0,1

Портфель 1 продается "в короткую", за счет чего приобретается портфель 2. Определите доходность полученного портфеля.

38. В двухпериодной экономике обращаются только два актива - безрисковый и рисковый. Безрисковая ставка равна 10%. Доходность рискового актива может оказаться равной 0% с вероятностью 0.4 и 20% с вероятностью 0.6. Какой портфель сформирует инвестор, функция полезности которого имеет вид , где W - величина богатства? (Определить долю вложений в каждый актив.)
39. Совместное вероятностное распределение доходностей двух акций задано в следующем виде:

P{r1 = -1.0 и r2 = 0.15} = 0.1,

P{r1 = 0.5 и r2 = 0.15} = 0.8,

P{r1 = 0.5 и r2 = 1.65} = 0.1.

(а) Каковы ожидаемые значения, дисперсии и ковариация доходностей двух этих акций.

(б) Проиллюстрируйте с помощью графика допустимые комбинации "риск - доходность" [E(R), s] для множества портфелей при предположении, что других активов в экономике нет.

(в) Какие портфели принадлежат эффективному множеству?

(г) Покажите, что хотя акция 1 и предпочтительнее, чем акция 2, по критерию "риск - доходность", однако при этом акция 2 включается во все эффективные портфели за исключением одного. Чем это объясняется?

(д) Предположим, что в дополнение к вышесказанному у инвестора появилась возможность отдавать ссуды без риска (но по-прежнему нет возможности брать взаймы без риска) по ставке 5 %. Очертите на графике указанное множество портфелей. Какие портфели теперь являются эффективными?
40. Предположим, что вы располагаете возможностью купить акции А и В.




А

В

Ожидаемая доходность

10 %

21 %

Среднеквадратичное отклонение доходности

15 %

25 %

(а) Какой портфель с минимальным риском (дисперсией) можно составить из акций А и В, если корреляция между доходностями двух этих акций равна 0? 0.5? 1? -1?

(б) Чему равна дисперсия каждого из портфелей с минимальным риском в разделе (а)?

(в) Какой из портфелей, лежащих на границе эффективных портфелей, в каждом случае окажется наиболее привлекательным при предположении, что существует безрисковый актив, приносящий 4.5 % в год?

(г) Выведите выражение для прямой, связывающей риск и доходность оптимального портфеля, для случая, когда коэффициент корреляции равен 0.5. На сколько изменяется доходность, если риск возрастает на единицу?


41. Пусть портфель 0 является портфелем с минимальным уровнем риска (безрискового актива нет). Докажите, что для любого актива А справедливо sA0 = s20 , где sA0 - ковариация доходностей A и 0, s20 - дисперсия портфеля 0.
42. Пусть имеются два актива с (случайными) доходностями rj и re. Предположим, что эти два актива имеют одинаковые ожидаемые значения доходностей, Е(rj) = Е(re), и одинаковые дисперсии, var(rj) = var(re). Коэффициент корреляции между rj и re равен r. Показать, что портфель, образованный этими двумя активами в равных долях, имеет минимальную дисперсию независимо от значения r.
43. Пусть доходности финансовых активов ri, i = 1, …. , N, независимы и одинаково распределены, Е(ri ) = m, var(ri) = s2. Предположим, что инвесторы на рынке несклонны к риску, а их функция ожидаемой полезности зависит только от ожидаемой доходности и дисперсии их портфелей. Найти допустимое множество портфелей, границу множества, эффективную границу и рыночный портфель.
44. Имеются три рисковых актива А, B и C с ожидаемыми доходностями 11 %, 14 % и 12 % соответственно. Безрисковая ставка 6 %. Стандартные отклонения доходностей: А - 10 %, B - 31 %, C - 20 %.

(а) Какой рисковый актив выберет несклонный к риску инвестор при условии, что он может инвестировать одновременно только в два актива - безрисковый и в один (любой) из рисковых? Ограничений на "короткие" продажи нет.

(б) Какой актив купит нейтральный к риску инвестор, которому разрешено инвестировать только в один актив (любой)?
45. В двухпериодной экономике обращаются два актива со следующими характеристиками: ожидаемые доходности m1=10%, m2=25%, стандартные отклонения доходностей s1=10 %, s2=20 %, коэффициент корреляции между доходностями этих активов равен нулю. Безрисковая ставка 5%. Какой портфель сформирует инвестор с функцией полезности ? (Определить долю вложений в каждый из активов, включая безрисковый.)
46. Инвестор Петров вложил 40% своего капитала в акции компании А и 60% в акции компании B. Он полагает, что акции этих компаний имеют коэффициент корреляции 0.6, а ожидаемая отдача и стандартные отклонения равны





А

В

Ожидаемая отдача

10%

15%

Стандартное отклонение

15%

25%

(а) Определить ожидаемую отдачу и стандартное отклонение портфеля инвестора.

(б) Будет ли какой-нибудь другой инвестор, подобно Петрову несклонный к риску, предпочитать портфель, составленный только из акций A и B? Почему да или почему нет?
47. Предположим, что функция полезности инвестора имеет вид , где s - стандартное отклонение доходности портфеля. Инвестор составляет портфель из акций двух видов - A и B - таких, что . Коэффициент корреляции между доходностями равен r. Определить математическое ожидание доходности портфеля.
48. Допустим, что на рынке можно найти практически неограниченно большое число акций, у которых доход одинаково распределён, риск одинаков (s=60%), а коэффициент корреляции доходов для любой пары равен r=0.5. Какое наименьшее количество различных акций потребуется инвестору, чтобы снизить риск портфеля до s=43%?
49. Можно ли составить портфель ценных бумаг, у которого характеристики риска окажутся выше, чем аналогичные характеристики для любого из входящих в его состав активов?
50. Пусть имеется n активов, доходности по которым не коррелируют друг с другом (Например, это могут быть n различных инвестиционных проектов, предполагающих бурение новых нефтяных скважин). Можно инвестировать в любой из активов или в любую их комбинацию. Ожидаемая доходность одинакова для каждого актива и равна m, однако дисперсии доходностей различны. Доходность актива i имеет дисперсию si2, i=1, …, n.

а) Изобразите эффективное множество портфелей в координатах m - s.

б) Найдите портфель с минимальной дисперсией. Чему равна его ожидаемая доходность и дисперсия доходности?
51. В экономике обращаются три рисковых актива с ожидаемыми доходностями 10%, 20% и 10% соответственно. Известно, что два портфеля лежат на границе портфелей с минимальной дисперсией доходности (minimum-variance set):

w=(0.60; 0.20; 0.20)' и v=(0.80; -0.20; 0.40)'.

По предположению, рыночный портфель является эффективным.

а) Чему равны максимальное и минимальное возможные значения ожидаемой доходности рыночного портфеля?

б) Если предположить, что портфель w является портфелем с минимальной дисперсией доходности (minimum-variance portfolio), то как изменится ответ на вопрос в п. а)?


52. Предположим, что безрисковая процентная ставка выше, чем ожидаемая доходность портфеля, сформированного только из рисковых активов и имеющего минимально возможную дисперсию доходности (global minimum variance portfolio): . Что является множеством эффективных портфелей в этом случае? Может ли такая ситуация наблюдаться в равновесии?
53. Пусть множество, состоящее из N рисковых активов, является подмножеством другого множества, состоящего из N+M рисковых активов. Имеется безрисковый актив. Какой портфель, состоящий из N активов, имеет наибольшую корреляцию с тангенциальным (касательным) портфелем множества, состоящего из N+M активов? Для ответа на вопрос задачи воспользуйтесь соответствующим графиком.
1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница