Программа вступительного экзамена по специальности научных работников 05. 13. 18




Скачать 177.07 Kb.
Дата07.05.2016
Размер177.07 Kb.




«Утверждаю»



Председатель Ученого совета математико-механического факультета СПбГУ, декан математико-механического факультета СПбГУ

профессор Леонов Г.А. ________________


«10» мая 2012 г.


Программа вступительного экзамена


по специальности научных работников

05.13.18

«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
«Статистическое моделирование»

Утверждена на заседании Ученого совета математико-механического факультета СПбГУ, протокол № 5 от 10.05.2012.

Санкт-Петербург



2012

Специализация «Статистическое моделирование»
I. Теория вероятностей

  1. Случайные события и их вероятности. Аксиомы теории вероятностей. Вероятность и ее свойства. Случайные величины и вектора. Распределение, функции распределения, плотность распределения. Их свойства. Типы распределений. Независимость случайных величин.

  2. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции. Их свойства. Моменты случайных величин. Неравенство Чебышева.

  3. Характеристические функции случайных величин и векторов. Их свойства.

  4. Гауссовские распределения и их свойства. Независимость гауссовских случайных величин.

  5. Слабая сходимость распределений. Слабый закон больших чисел и центральная предельная теорема.

  6. Последовательность независимых случайных величин. Закон нуля и единицы для независимых случайных величин. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел.

  7. Условные вероятности и условные математические ожидания. Условные распределения и их свойства. Условные гауссовские распределения.



II. Дискретные цепи Маркова


  1. Однородные марковские цепи с дискретным пространством состояний. Начальное распределение и матрица перехода. Матрица перехода за несколько шагов.

  2. Классификация марковских цепей. Возвратность. Стационарные распределения и финальные вероятности. Теорема о предельном поведении переходных вероятностей в марковскОй цепи.

  3. Марковские цепи с произвольным пространством состояний. Конечномерные распределения. Поглощающие состояния.


III. Случайные процессы.

  1. Марковские процессы. Начальное распределение и переходная функция. Конечномерные распределения.

  2. Стационарные в широком смысле процессы. Ковариационная функция и спектральная мера. Процесс авторегрессии и скользящего суммирования.

  3. Гауссовские процессы. Простейшие свойства. Примеры.


IV. Математическая статистика

  1. Оценивание. Точечные оценки, их свойства. Оценки максимального правдоподобия. Доверительные интервалы.

  2. Меры зависимости. Коэффициент корреляции Пирсона, Спирмена. Корреляционное отношение.

  3. Принципы построения критериев для проверки гипотез. Уровень значимости. Мощность критерия. Примеры критериев.



V. Метод Монте-Карло


  1. Моделирование случайных величин. Основные методы получения псевдослучайных чисел. Методы моделирования случайных величин с заданным распределением. Трудоемкость моделирования.

  2. Моделирование марковских процессов. Моделирование гауссовских процессов. Моделирование стационарных в широком смысле процессов.

  3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. Методы уменьшения трудоемкости. Оценки по поглощению и столкновению для решения интегральных уравнений. Решение задач переноса излучения. Решение простейших задач математической физики.

  4. Принципы и методы имитационного моделирования.



VI. Стохастические модели систем.


  1. Принцип узловых точек. Δt-принцип.

  2. Случайный поиск с адаптацией.

  3. Процесс противоборства и принцип неопределенности.



VII. Теория автоматов


  1. Понятие о вероятностном конечном автомате. Автоматы частного вида. Детерминированные автоматы.

  2. Способ задания вероятностных автоматов. Методы задания детерминированных автоматов (графы, автоматная матрица, таблицы переходов и выходов, системы канонических уравнений).



VIII. ЭВМ и программирование


  1. Операционные системы. Управление памятью. Управление процессами. Управление процессором. Управление устройствами. Управление файлами.

  2. Основные этапы решения задач на ЭВМ. Алгоритмические языки высокого уровня. Объектно-ориентированное программирование (С++, Visual C++).



ЛИТЕРАТУРА


  1. Ширяев А.Н. Вероятность. М., МЦНМО, 2007.

  2. Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Эдиториал УРСС, 1999.

  3. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука 1996

  4. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, Наука, 1989.

  5. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., Наука, 1973.

  6. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М., Наука, 1982.

  7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М., Мир, 1978.

  8. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1992.

  9. Сушков Ю.А. Статистические модели систем. СПб: Изд-во СПбГУ, 2004.

  10. Чирков М.К., Пономарева А.Ю. Стационарные детерминированные и вероятностные автоматы (Теория автоматных моделей). СПб: Издательство СПбГУ, 2008.

  11. Пол А., Объектно-ориентированное программирование на C++. Невский диалект, 2001.

  12. Брой М. Информатика (ч.1,2,3) М.: Диалог-МИФИ, 1996.

  13. Мешков А., Тихомиров Ю. Visual C++ и MFC. СПб.: БХВ, 2000.

  14. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. -

  15. СПб.: Невский Диалект, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. - 192 с.

  16. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. СПб.: Невский Диалект, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009, 192 с.


Специализация «Параллельные алгоритмы»

Моделирование физических процессов и их численная реализация


1. Простейшая краевая задача для обыкновенногго линейного дифференциального оператора.

2. Собственный спектр положительно определенных операторов /понятие

о спектре, собственные числа и элементы/.

3. Разложение по собственному спектру положительно определенного

оператора.

4. Задача Штурма - Лиувилля.

5. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, краевые условия и краевые

задачи. Задача Коши, проблема существования и единственности решения.

6. Задачи Дирихле и Неймана.

7. Вариационный метод.

8. Уравнение теплопроводности, волновое уравнение.

9. Метод итерации. Теорема о сжатых отображениях.

10. Решение систем алгебраических уравнений методами итераций.

11. Решение системы алгебраических уравнений методами исключений.

12. Оценки погрешности приближенного решения системы.

13. Итерационный метод нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

14. Интерполирование. Погрешность, конечные разности.

15. Формулы Лагранжа и Ньютона.


Вычислительные методы
16. Машинные представления действительного числа.Влияние формы представления на вычислительный процесс.

17. Задачи линейной алгебры. Понятие о псевдорешении.

18. Гладкая аппроксимация и интерполяция.Сплайны Шонберга. Минимальные сплайны.

19. Производная нелинейной операции. Метод Ньютона.

20. Вторая производная нелинейной операции. Скорость сходимости метода Ньютона.

21. Вычисление многократных интегралов. Кубатурные формулы. Метод Монте-Карло.

22. Метод последовательных приближений для интегральных уравнений.

23. Метод механических квадратур. Метод моментов.

24. Некорректные задачи. Постановки Адамара и Тихонова,

понятие о регуляризаторе.

25. Некорректная задача для интегрального уравнения первого рода.

26. Вариационный метод. Абстрактная схема.

27. Метод Ритца дли задачи Дирихле

28. Вариационно - сеточные методы. Оценка сходимости.

29. Сеточные методы. Постановка задачи. Аппроксимация, сеточный шаблон.

30. Устойчивость и сходимость. Теорема о порядке сходимости на решении.

31. Нестационарная задача. Оценка сходимости.

32. Задача Коши. Периодические решения. Условие Неймана.

33. Задача линейного программирования. Понятие вершины. Базисные переменные.

34. Симплекс-метод для задач линейного программирования.


Теория сплайнов

35. Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяция Лагранжа, Эрмита, Эрмта-Биркгофа. Интерполяционные полиномы. Нахождение неточно заданной входной информа-ции и исправление. Влияние округления при вычислениях на ЭВМ Приближение различными типами сплайнов.

36. Эрмитовы кубические сплайны. В-сплайны. Минимальные сплайны.

Минимальные лагранжевы сплайны. Аппроксимационные тождества.

37. Обработка информации с помощью сплайнов. Применение минимальных сплайнов для сжатия и восстановления числовых потоков,в том числе - сложной графической информации.

38. Применение к решению задач математической физики и распараллеливание. Решние краевых задач вариационно-разностным методом. Устойчивость вычислений. Приближения в комплексной области.


Всплески и цифровые фильтры
39. О понятии "всплеск". Цифровые фильтры. Быстрое дискретное преобразование Фурье.

40. Обработка сигналов и изображений. Естественная параллельная структура всплесковых преобразований.

41. Кратно-масштабное уравнение и масштабирующая функция.

Примеры масштабирующих функций. Прямое разложение и пространство всплесков. Ортогональное разложение.

42. Переход от одного базиса к другому. Формулы декомпозиции и реконструкции.

43. Ортовсплески в ортогональном разложении цепочки вложенных пространств.

Кратно-масштабный анализ.

44. Образующие минимальные сплайны. Пространства минимальных сплайнов. Приденный образующий минимальный сплайн и его характеристический многочлен.

45. Псевдосвертка и калибровочное соотношение. Цепочки приведенных сплайнов. Распараллеливание всплесковой фильтрации сигнала.

46. Формулы декомпозиции и реконструкции и их распараллеливание. Распараллеливание всплесковой фильтрации сигнала с гарантированным порядком аппроксимации.

47. О построении вейвлетного разложения на неравномерной сетке.
Случайные процессы. Математическая статистика. Метод Монте-Карло
48. Марковские процессы. Начальное распределение и переходная функция. Конечномерные распределения.

49. Стационарные в широком смысле процессы. Ковариационная функция и спектральная мера. Процесс авторегрессии и скользящего суммирования.

50. Гауссовские процессы. Простейшие свойства. Примеры.

51. Оценивание. Точечные оценки, их свойства. Оценки максимального правдоподобия. Доверительные интервалы.

52. Меры зависимости. Коэффициент корреляции Пирсона, Спирмена. Корреляционное отношение.

53. Принципы построения критериев для проверки гипотез. Уровень значимости. Мощность критерия. Примеры критериев.

54. Моделирование случайных величин. Основные методы получения псевдослучайных чисел. Методы моделирования случайных величин с заданным распределением. Трудоемкость моделирования.

55. Моделирование марковских процессов. Моделирование гауссовских процессов. Моделирование стационарных в широком смысле процессов.

56. Вычисление интегралов методом Монте-Карло. Методы уменьшения трудоемкости. Оценки по поглощению и столкновению для решения интегральных уравнений. Решение задач переноса излучения. Решение простейших задач математической физики.
Теория автоматов. Операционные системы. Распараллеливание

57. Понятие о вероятностном конечном автомате. Автоматы частного вида. Детерминированные автоматы.

58. Способ задания вероятностных автоматов. Методы задания детерминированных автоматов (графы, автоматная матрица, таблицы переходов и выходов, системы канонических уравнений).

59. Операционные системы. Управление памятью. Процессы и распараллеливание в Unix.

60. Файловая структура в Unix. Управление файлами.

61. Алгоритмические языки высокого уровня. Объектно-ориентированное программирование (С++, Visual C++, Fortran).

62. Программные средства для распараллеливания (MPI, Open MP, DVM)

63. Концепция неограниченного параллелизма; область ее применимости.

64. Распараллеливание методов решения систем линейных алгебраических уравнений.
Литература

[1] Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. Функциональный анализ. Наука.1977

(главы 1,2,4-7,9,11,12-14,17,18).

[2] А.Я.Хелемский. Лекции по функционаьному анализу. М.: МЦНМО,

2004. 552 с.

[3] С.Г.Михлин. Линейные уравнения в частных производных. Высшая школа. 1977

(главы 1-5,8-12,14,15,17,18,20-24).

[4] И.П.Мысовских. Лекции по методам вычислений. СПб. 1998.

[5] И.К.Даугавет. Введение в келассическую теори приближения

функций. СПб. 2011. 232 с.

[6] С.В.Яхонтов, Н.К.Косовский, Т.М.Косовская. Эффективные по

времени и памяти алгоритмические приближения чисел и функций.

СПб. 2012. 256 с.

[7] С.Г.Михлин. Вариационные методы в математической физике. 1970. 512 с.

[8] И.Г.Бурова, Ю.К.Демьянович. Теория минимальных сплайнов.

СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2000. 317 с.

[9] Yukiya Aoyama, Jun Nakano. RS/6000 SP: Practical MPI Programming. IBM. Technical Sup-port Organization. 2000. 221 p. www.redbook.ibm.com, 2003.

[10] И.Добеши. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динами-ка". 2001. 464 с.

[11] Ю.К.Демьянович. Минимальные сплайны \& всплески. СПб. 2003. 200 с.

[12] С.М.Ермаков, Г.А. Михайлов. Курс статистического моделирования. М., Наука, 1982.

[13] М.К. Чирков. Основы общей теории конечных автоматов. Изд-во ЛГУ, 1975.

[14] В.В.Воеводин, Вл.В.Воеводин. Параллельные вычисления. СПб. 2002.



[15] Ю.К.,Демьянович, И.Г.Бурова и др. Параллельные алгоритмы. Разработка и реализация. М., 2012. 344 с.
Специализация «Прикладная кибернетика»

1. Математические основы

  1. Элементы теории функций и функционального анализа. Понятие меры и интеграла Лебега. Метрические и нормированные пространства. Пространства интегрируемых функций. Пространства Соболева. Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана—Банаха. Линейные операторы. Элементы спектральной теории. Дифференциальные и интегральные операторы.

  2. Экстремальные задачи. Выпуклый анализ. Экстремальные задачи в евклидовых пространствах. Выпуклые задачи на минимум. Математическое программирование, линейное программирование, выпуклое программирование. Задачи на минимакс. Основы вариационного исчисления. Задачи оптимального управления. Принцип максимума. Принцип динамического программирования.

  3. Теория вероятностей. Математическая статистика. Аксиоматика теории вероятностей. Вероятность, условная вероятность. Независимость. Случайные величины и векторы. Элементы корреляционной теории случайных векторов. Элементы теории случайных процессов. Точечное и интервальное оценивание параметров распределения. Элементы теории проверки статистических гипотез. Элементы многомерного статистического анализа. Основные понятия теории статистических решений. Основы теории информации.

2. Информационные технологии

  1. Принятие решений. Общая проблема решения. Функция потерь. Байесовский и минимаксный подходы. Метод последовательного принятия решения.

  2. Исследование операций и задачи искусственного интеллекта. Экспертизы и неформальные процедуры. Автоматизация проектирования. Искусственный интеллект. Распознавание образов.

3. Компьютерные технологии

  1. Численные методы. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей. Численное дифференцирование и интегрирование. Численные методы поиска экстремума. Вычислительные методы линейной алгебры. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений. Сплайн-аппроксимация, интерполяция, метод конечных элементов. Преобразования Фурье, Лапласа, Хаара и др. Численные методы вейвлет-анализа.

  2. Вычислительный эксперимент. Принципы проведения вычислительного эксперимента. Модель, алгоритм, программа.

  3. Алгоритмические языки. Представление о языках программирования высокого уровня. Пакеты прикладных программ.

4. Методы математического моделирования

  1. Основные принципы математического моделирования. Элементарные математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике. Универсальность математических моделей. Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Вариационные принципы построения математических моделей

  2. Методы исследования математических моделей. Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей.

  3. Математические модели в научных исследованиях. Математические модели в статистической механике, экономике, биологии. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем.

  4. Задачи редукции к идеальному прибору. Синтез выходного сигнала идеального прибора. Проверка адекватности модели измерения и адекватности результатов редукции.

  5. Модели динамических систем. Особые точки. Бифуркации. Динамический хаос. Эргодичность и перемешивание. Понятие о самоорганизации. Диссипативные структуры. Режимы с обострением.

Основная литература

  1. Ширяев А.Н. Вероятность. М., МЦНМО, 2007.

  2. Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Либроком, 2009

  3. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука 1996

  4. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, Наука, 1989.

  5. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., Наука, 1973.

  6. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М., Наука, 1982.

  7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М., Мир, 1978.

  8. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: ЛКИ, 2010.

  9. Сушков Ю.А. Статистические модели систем. СПб: Изд-во СПбГУ, 2004.

  10. Чирков М.К., Пономарева А.Ю. Стационарные детерминированные и вероятностные автоматы (Теория автоматных моделей). СПб: Издательство СПбГУ, 2008.

  11. Пол А., Объектно-ориентированное программирование на C++. Невский диалект, 2001.

  12. Брой М. Информатика (ч.1,2,3) М.: Диалог-МИФИ, 1996.

  13. Мешков А., Тихомиров Ю. Visual C++ и MFC. СПб.: БХВ, 2000.

  14. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. -

  15. СПб.: Невский Диалект, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. - 192 с.

  16. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. СПб.: Невский Диалект, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009, 192 с.

  17. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Физматлит, 2002.

  18. А.Я.Хелемский. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО,

2004. 552 с.

  1. И.К.Даугавет. Введение в келассическую теори приближения

функций. СПб. 2011. 232 с.

  1. С.В.Яхонтов, Н.К.Косовский, Т.М.Косовская. Эффективные по

времени и памяти алгоритмические приближения чисел и функций.

СПб. 2012. 256 с.



  1. И.Г.Бурова, Ю.К.Демьянович. Теория минимальных сплайнов.

СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2000. 317 с.

  1. Yukiya Aoyama, Jun Nakano. RS/6000 SP: Practical MPI Programming. IBM. Technical Sup-port Organization. 2000. 221 p. www.redbook.ibm.com, 2003.

  2. И.Добеши. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динами-ка". 2001. 464 с.

  3. Ю.К.Демьянович. Минимальные сплайны \& всплески. СПб. 2003. 200 с.

  4. В.В.Воеводин, Вл.В.Воеводин. Параллельные вычисления. СПб. 2002.

  5. Ю.К.,Демьянович, И.Г.Бурова и др. Параллельные алгоритмы. Разработка и реализация. М., 2012. 344 с.

Дополнительная литература

  1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

  2. Пытьев Ю.П. Математические методы анализа эксперимента. М.: Высш. школа, 1989.

  3. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000.

  4. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

  5. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1984.

  6. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972.


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница