Программа курса "Математическое моделирование"




Скачать 78.79 Kb.
Дата07.05.2016
Размер78.79 Kb.
ПРОГРАММА

курса “Математическое моделирование”
1. ЛИНЕЙНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАДИОСИСТЕМ

  1. Точные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод исключения Гаусса и LU-разложение. Вычисление определителя и обратной матрицы.

  2. Уравнения с матрицами специального вида. Метод прогонки для уравнения с трехдиагональной матрицей.

  3. Матричная проблема собственных значений и задачи теории колебаний и волн. Обобщенная проблема собственных значений. Собственные векторы.

  4. Расчет собственных значений симметричных матриц. Методы Гивенса и Хаусхолдера приведения матриц к трехдиагональной форме. Собственные значения трехдиагональных матриц. Метод последовательностей Штурма.

  5. Методы вычисления собственных значений матриц общего вида. QR-метод. Приведение матрицы к форме Хессенберга.

  6. Поиск наибольших и наименьших собственных значений. Степенной и обратный степенной методы.

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАДИОСИСТЕМ

  1. Нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения. Системы нелинейных уравнений. Характерные радиофизические задачи, сводящиеся к решению нелинейных уравнений и систем.

  2. Методы половинного деления, ложного положения, секущих и хорд. Метод Ньютона. Сходимость методов.

  3. Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений. Квазиньютоновские методы. Метод Бройдена.

  4. Задачи оптимизации в радиофизике. Безусловная и условная оптимизация. Методы одномерного поиска экстремума функции.

  5. Методы многомерной оптимизации. Прямые методы – метод покоординатного спуска, симплексный метод Нелдера-Мида, метод Хука-Дживса. Градиентные методы оптимизации.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

  1. Задачи теории колебаний и волн, приводящие к системам обыкновенных дифференциальных уравнениий. Начальные условия. Задача Коши и динамические системы.

  2. Общая характеристика методов численного решения задачи Коши. Одношаговые и многошаговые методы. Явные и неявные методы.

  3. Проблема устойчивости численного решения задачи Коши. Плохая обусловленность задачи. Неустойчивость метода. Преимущества неявных методов.

  4. Одношаговые методы Рунге-Кутты. Метод четвертого порядка. Свойства методов Рунге-Кутты.

  5. Многошаговые явные методы Адамса-Башфорта и неявные методы Адамса-Моултона. Неявный метод второго порядка (правило трапеций).

  6. Методы прогноза и коррекции Адамса.

  7. Жесткие системы дифференциальных уравнений. Коэффициент жесткости. Неявные методы численного интегрирования жестких систем.

  8. Технология моделирования динамических систем (на примере динамики автоколебательной системы).

  9. Моделирование динамических систем в среде Simulink.

4. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВОЛНОВЕДУЩИХ СИСТЕМ

  1. Граничные задачи, возникающие в теории неоднородных линий. Матрица рассеяния неоднородности.

  2. Общая характеристика методов решения граничных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

  3. Конечно-разностный метод.

  4. Итерационные методы. Метод пристрелки. Алгоритмы Ньютона в методе пристрелки.

  5. Неитерационные методы. Метод продолжения по параметру. Метод дифференциальной прогонки.

5. ВОЛНОВОДНАЯ ДИСПЕРСИЯ И ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

  1. Дисперсионные уравнения теории волноводов и задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов. Характеристические уравнения для собственных частот резонаторов.

  2. Метод конечных разностей и собственные значения разностной матрицы.

  3. Метод пристрелки в задачах на собственные значения. Решение неявнозаданных дисперсионных уравнений методом Ньютона. Применение методов оптимизации.

  4. Метод продолжения по параметру в задачах на собственные значения.


6. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ


  1. Классификация уравнений в частных производных.

  2. Гиперболические уравнения в задачах радиофизики: уравнения переноса, волновое уравнение.

  3. Уравнения Фоккера-Планка, диффузии и теплопроводности, нестационарное и нелинейное уравнение Шредингера – параболические уравнения радиофизики.

  4. Эллиптические уравнения. Уравнения Лаплапса, Пуассона и Гельмгольца.

  5. Разностная аппроксимация пространственных производных. Порядок аппроксимации. Равномерные и неравномерные сетки. Аппроксимация начальных и граничных условий.

7. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

  1. Уравнения Лаплапса, Пуассона и Гельмгольца.

  2. Выбор пространственной сетки. Неоднородные среды и неравномерные сетки. Аппроксимация производных и граничных условий.

  3. Системы разностных уравнений и методы их решения. Прямые методы.

  4. Итерационные методы: простой итерации (Якоби), Гаусса-Зейделя, последовательной верхней релаксации, переменных направлений.

  5. Метод Монте-Карло в задачах электростатики.

8. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

  1. Явная и неявная схемы временного интегрирования. Проблема устойчивости разностных схем для эволюционных уравнений. Условия Неймана и Куранта-Фридрихса-Леви.

  2. Разностные методы для гиперболических уравнений. Метод Лакса. Двухшаговая схема Лакса-Вендроффа.

  3. Устойчивые разностные схемы для параболических уравнений. Неявный метод Кранка-Николсона. Явный метод Дюффорта-Франкеля.

  4. Полудискретные методы для эволюционных уравнений. Метод линий.

9. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ НАЧАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

  1. Определение проекционных методов. Методы взвешенных невязок. Граничные, внутренние и смешанные методы.

  2. Методы коллокаций, подобластей и наименьших квадратов.

  3. Метод Галеркина.

  4. Метод конечных элементов.

  5. Методы Галеркина и конечных элементов в задачах на собственные значения.

10. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ПРОЦЕССОВ

  1. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения. Алгоритмы генерации равномерно распределенных случайных чисел. Генераторы гауссовских случайных последовательностей. Алгоритм Метрополиса.

  2. Метод Монте-Карло.

  3. Модели случайных процессов. Динамические системы со случайными начальными условиями.

11. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС И БИСТАБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

  1. Динамические модели случайных процессов. Модель Лоренца. Странный аттрактор.

  2. Динамический хаос в бистабильных системах.

12. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

  1. Интерполяция функций. Интерполяционный полином Лагранжа. Метод Ньютона – правые и левые разности. Интерполяция сплайнами. Кубические сплайны.

  2. Аппроксимация и приближение функций. Аппроксимация по методу наименьших квадратов. Линейная регрессия. Аппроксимация ортогональными полиномами. Аппроксимация тригонометрическими функциями. Дискретное преобразование Фурье.

  3. Формулы численного дифференцирования. Вывод формул на основе разложений функций в ряды Тейлора и интерполяционных полиномов.

  4. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (прямоугольников, средней точки, трапеций, Симпсона и др.). Метод Ромберга. Квадратурные формулы Гаусса. Интегрирование осциллирующих функций. Многомерные интегралы, интегрирование методом Монте-Карло.

Литература

  1. Численные методы / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. – 3-е изд., доп. и перераб. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.

  2. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. М.: Физматлит, 2002.

  3. Мэтьюз Д., Куртис Д. Численные методы. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.

  4. Зализняк В.Е. Основы научных вычислений. Введение в численные методы для физиков и инженеров. – М.–Ижевск: НИЦ «РХД», 2006.

  5. Кунин С. Вычислительная физика. – М.: Мир, 1992.

  6. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2-х частях. – М.: Мир, 1992.

  7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980.

  8. Шуп С. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982.

  9. Ортега Дж., Пул У Введение в численные методы решения дифференциалоных уравнений. – М.: Наука, 1986.

  10. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программирование. – М.: Мир, 1998.

  11. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. – М.: Мир, 1982.

  12. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1990.

  13. Гупта К., Гардин Р., Чадхи Р. Машинное проектирование СВЧ устройств. – М.: Радио и связь, 1987.

  14. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. – М.: Физматлит, 2002.


Преподаватель Зайцев В.В.


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница