Модель Сидрауского




Скачать 88.57 Kb.
Дата10.05.2016
Размер88.57 Kb.
Модель Сидрауского

Рассмотрим модификацию модели Рамсея, внеся в нее деньги. При этом будем рассматривать функцию денег, состоящую в снижении транзакционных издержек потребителя, для чего деньги внесем непосредственно в функцию полезности.

Почему в функцию полезности имеет смысл вводить деньги, то есть рассматривать , где -реальные денежные остатки?

Предположим, что полезность агента зависит от потребления и отдыха: , где – время, которое агент отдыхает. Для того чтобы иметь возможность приобрести товар в количестве надо потратить определенное время на его приобретение. Имея в виду, что запас времени в каждый момент жизни агента фиксирован и равен , «бюджет» времени приобретает вид:



Логично предположить, что время, потраченное на приобретение товара, будет положительно зависеть от количества приобретенного товара. Количество денег, которым мы располагаем в каждый момент, также может влиять на время, потраченное на приобретение товара. Обычно, чем больше денег, тем проще осуществляется процесс потребления - деньги снижают транзакционные издержки. Поэтому можем задать функциональную зависимость , причем функция возрастает по и убывает по . Тогда функция полезности может быть переписана в следующем виде: .

Из условия, что отрицательно зависит от , получаем, что возрастает по . В такой постановке не вполне очевиден знак зависимости от , т.к. имеет место прямая положительная зависимость полезности от уровня потребления, и косвенная, отрицательная зависимость полезности от потребления через уменьшение время на отдых. Будем считать, что прямой эффект доминирует, и уровень полезности агента возрастает по мере роста уровня потребления .

§ 1. Постановка задачи

Будем рассматривать модель в дискретном времени. Опишем составные части однопродуктовой модели с производством: домовладения - потребители и фирмы - производители.



Домовладения

Каждый член домовладения, родившись в некоторый момент времени, живет бесконечно долго. Каждый последующий момент у него рождаются потомки, так что размер каждого домовладения увеличивается с темпом . Все члены домовладения при рождении получают долю благосостояния, равную среднему подушевому благосостоянию домовладения в момент его рождения. Каждый агент имеет определенную норму временных предпочтений и эта норма одинакова у всех членов домовладения, независимо от момента их рождения.

Мгновенная полезность каждого члена домовладения в момент не зависит от момента времени, а зависит от уровня его потребления и реального денежного баланса .

В каждый момент времени каждый член домовладения обладает единицей рабочей силы, которую он (неэластично) предлагает на рынок труда.

Существует две возможности переноса благосостояния во времени: капитал, инвестированный в производство, и деньги.

Условимся о следующем. В «начале» момента времени домовладение имеет агрегированные номинальные сбережения в объеме и агрегированные номинальные денежные сбережения , принесенные из прошлого момента времени . Работая в момент , каждый член домовладения получает номинальную заработную плату . В «конце» момента домовладение получает номинальные процентные платежи по своим прошлым сбережениям, принимает решение о потреблении , а оставшиеся средства делит между сбережениями и денежными накоплениями .

Если в экономику вливаются деньги в объеме , то они также попадают в доходную часть бюджета домовладения.

Задачей домовладения является максимизация суммарной дисконтированной полезности всех его членов, как уже живущих, так и еще не родившихся:



(1.1)

при следующих агрегированных номинальных бюджетных ограничениях в каждый момент :



. (1.2)

Делим (1.2) на и получаем бюджетное ограничение в подушевых реальных величинах:



, (1.3)

где - инфляция в момент , (1.4)



- реальный процент в момент . (1.5)

Естественное ограничение задачи: . (1.6)

Учитывая то, что население растет с постоянным темпом и , перепишем функционал в виде

, (1.7)

где . (1.8)



Фирма

Описание производственной фирмы в точности повторяет ранее рассмотренную ситуацию. Обладая неоклассической производственной технологией , в «начале» момента фирма выбирает уровень капиталовложения и занятости из условия максимизации прибыли



(1.9)

Отметим, что рентную плату на капитал и зарплату рабочим фирма выплачивает в «конце» момента . Капитал не изнашивается.

Начальные условия: заданы начальный уровень подушевых сбережений домовладения и деньги на душу населения в нулевой момент времени в объеме .

Равновесие

Определение. Равновесием модели называется последовательность такая, что выполнены следующие условия:


  1. - решение задачи (1.7) на ограничениях (1.3), (1.6) при заданных равновесных значениях ;

  2. пара , - решение задачи фирмы (1.9);

выполнены балансовые условия

  1. материальный баланс: ; (1.10)

4) на рынке капитала – сбережения равны фондам:

, (1.11)

или, в удельных переменных:



; (1.12)

5) на рынке рабочей силы (1.13)

6) денег , (1.14)

где . (1.15)


Очевидно, что условие рациональности фирмы и балансовое условие на рынке труда можно заменить условиями

, (1.16)

(1.17)

§ 2. Анализ равновесной траектории

Исследуем равновесную траекторию модели. Нас интересует, являются ли деньги супернейтральными в такой постановке? Для того, чтобы понять это, поступим следующим образом. Записываем условия первого порядка, анализируем стационарное состояние и смотрим, как параметры стационарного состояния меняются с изменением скорости роста денежной массы. Для простоты будем вновь полагать, что уровень денежных трансфертов таков, чтобы обеспечить рост денежной массы в экономике с постоянным темпом .

Рассмотрим задачу потребителей. Обозначим через множитель Лагранжа бюджетного ограничения домовладения в момент . Тогда Лагранжиан задачи потребителей имеет вид



(2.1)


Условия первого порядка:

, (2.2)

, (2.3)

. (2.4)

Подставляя выражение для из (2.4) в (2.3), и используя выражение для из (2.2), получим:



, (2.5)

где - номинальная ставка процента.

Выражение (2.5) связывает потребление, деньги и номинальный процент на равновесной траектории.

Рассмотрим стационарный режим, определив его следующим образом:



, , , , , . (2.6)

То есть, мы не требуем постоянства уровня цен на равновесной траектории, но требуем постоянства их темпа роста.

Следует заметить, что на стационарной траектории:

. (2.7)

Это следует из (2.2), с учетом постоянства потребления и реального баланса. Тогда из (2.4) получаем, что



, или

. (2.8)

Соотношение (2.8) определяет стационарный режим модели. С учетом (1.16)



(2.9)

То есть, реальный процент на равновесной стационарной траектории равен норме индивидуальных временных предпочтений агентов и не зависит от функций полезности и производства.

Уровень потребления можем теперь найти из условия материального баланса:

. (2.10)

Поскольку , то заведомо положительно.



§ 3. Супернейтральность денег

Теперь мы можем определить, как зависят реальные переменные от темпа роста денежной массы на стационарной траектории. Так как определяется из (2.9), то ни фондовооруженность, ни потребление не зависят от темпа роста денег в экономике.

Таким образом, в модели Сидрауского имеет место супернейтральность денег на стационарной траектории. При этом мы не утверждаем, что супернейтральность будет иметь место на любых траекториях. Для того, чтобы супернейтральность наблюдалась на нестационарных траекториях, необходимо наложить дополнительные условия на функцию .

Для того, чтобы закончить исследование стационарного состояния модели, покажем, что существует траектория , обеспечивающая постоянство темпа роста денежной массы на стационарной траектории.

Обозначим через - совокупный объем денежной массы в экономике в момент . Тогда реальный баланс

(3.1)

На стационарных траекториях . Отсюда следует, что темп роста денежной массы связан с темпом инфляции на стационарной траектории и темпом роста населения следующим образом:



. (3.2)

Если и малы, то



.

Теперь определим из баланса денег:



, (3.3)

откуда определим для стационарного режима:



. (3.4)

§ 4. Правило Фридмана

Рассмотрим еще один важный вопрос, который естественно рассмотреть в рамках этой модели – оптимальное количество денег и правило Фридмана (чикагское правило).

Будем считать, что функция достигает максимума по , т.е. для каждого найдется такое, что достигает максимума. Тогда логично накачивать экономику деньгами таким образом, чтобы этот максимум и реализовывался в стационарном режиме, т.е. нужно выбрать такой темп роста денежной массы, чтобы равнялось бы оптимальному значению. В этой точке оптимума : . При этом из соотношения (2.5) следует, что если (предполагаем, что ), то

. (4.1)

Это и есть правило Фридмана или чикагское правило. Его смысл состоит в том, что реализуется ситуация, когда потребителю безразлично, вложить ли средства в инвестиции или носить их в кармане, потому, что номинальный процент на инвестиции равен 0. Это довольно естественный принцип оптимальности – у нас есть две альтернативы, носить ли деньги в кармане и ничего не получать или вкладывать их в производство и получать по ним проценты. Равенство означает, что



. (4.2)

Таким образом, правило Фридмана предусматривает дефляцию с темпом



. (4.3)

Если и - малые величины, то



. (4.4)

Для модели в непрерывном времени последнее соотношение выполняется как точное равенство.

Таким образом, чтобы достичь наибольшего уровня полезности, необходима дефляция, т.е. падение цен с темпом, приблизительно равным реальному проценту.

Можно вычислить соответствующий темп изменения денежной массы в экономике :



. (4.5)

Опять таки, если мало, то



, (4.6)

т.е. при выполнении правила Фридмана масса денег уменьшается с темпом, равным норме временных предпочтений.

Почему в большинстве стран все же наблюдается положительная инфляция? Наша модель очень проста и рассматривает роль денег только в отношении снижения транзакционных издержек потребителей. Введя другие функции денег в экономике, можно получить и иные результаты.

Напрмер, если одной из функций денег является обеспечение дохода государства, то есть, печатая деньги на станке, государство может использовать их для покрытия своих расходов - так называемый сеньораж, то, очевидно, что наличие дефицита государственного бюджета будет неизбежно приводить к положительному темпу инфляции в равновесии. Более того, при больших уровнях государственного дефицита и соответствующем ему высоком уровне инфляции начинают играть роль ожидания агентов о будущем росте цен. В свою очередь, рост инфляционных ожиданий способен привести к неуправляемой ситуации гиперинфляции.



Рассматривая вопросы, связанные с ролью государства в экономике, мы ввели понятие оптимального уровня налогообложения. Оказывается, что в большинстве случаев сеньораж совпадает с инфляционным налогом. При этом, ставка инфляционного налога равна темпу инфляции в экономике, а налоговая база – вся денежная масса. Поэтому, если включить инфляционный налог в доходную часть бюджета государства и выбирать оптимальный уровень налогообложения среди искажающих налогов, то соответствующая ставка инфляционного налога, то есть оптимальный уровень инфляции в экономике, оказывается положительной.






База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница