Методические рекомендации по написанию контрольной работы для студентов заочной формы обучения




Скачать 421.17 Kb.
Дата05.05.2016
Размер421.17 Kb.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОУ ВПО Российская международная академия туризма

Псковский филиал

Финансовый менеджмент

Математические основы финансового менеджмента

Методические рекомендации по написанию контрольной работы для студентов заочной формы обучения



(Первый семестр)

Псков

2014

Введение

Конкурентоспособность и платежеспособность хозяйствующего субъекта определяется прежде всего рациональной организацией финансов. Рыночная экономика не только привела к усилению роли финансов в функционировании предприятия. Она определила для них новое место в системе хозяйствования. Большинство рыночных регуляторов относится к элементам финансового механизма, т.е. входит в состав финансов.

Финансы – историческая и экономическая категория.

Как экономическая категория финансы представляют собой денежные отношения, связанные с формированием, распределением фондов денежных средств.

Целью настоящего курса является рассмотрение вопросов функционирования финансов на микроуровне, во взаимосвязи с внешней средой.

Важную роль в изучении финансов играют расчётные операции, связанные с оценкой стоимости денежных средств во времени.

Изучению основ финансовых расчётов как математического аппарата финансового менеджмента и будет посвящён данный раздел.

1.​ Положения о контрольной работе.

Назначением контрольной работы является проверка практических навыков финансовых расчётов. Контрольная работа заключается в решение практических задач по вариантам.

Работа должна быть выполнена в электронном виде на одной стороне листа, аккуратно, без помарок и подчисток.

Работа должна содержать следующие материалы:

*​ титульный лист (приложение 1),

*​ практическая часть (решение задач по варианту);

*​ заключение (общие выводы и результаты проведённой работы);

Текст следует набирать шрифтом «кегль 14» через 1,5 интервала, поля: левое – 30 мм., верхнее и нижнее по 20 мм., правое – 10 мм. Приложения оформляются в конце (после списка литературы). Страницы (листы) нумеруются арабскими цифрами. Их располагают в пределах рабочего поля страницы сверху от центра. Цифры должны быть отделены от текста пробелом в одну строку. Титульный лист включается в общую нумерацию, но номер страницы на нем не ставится. При написании допускаются только общепринятые сокращения.

Список использованной литературы должен содержать перечень источников, использованных при выполнении контрольной работы. Сведения об источниках необходимо давать в соответствии с предъявляемыми требованиями (автор, место издания, издательство, год издания).

2.​ Методические рекомендации для выполнения контрольной работы

Четкое представление о базовых понятиях финансовой математики необходимо для понимания всего последующего материала. Главное из таких понятий — процентные деньги (далее — проценты), определение которых составляет сущность большинства финансовых расчетов.



Проценты — это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (т.е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого каптала, срока, на который он предоставляется в долг пли инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).



Наращение (рост) первоначальной суммы долга — это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения - это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления - эго промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существуют две концепции и, соответственно, два способа определения и начисления процентов.



Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка (ссудный процент), представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов.Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется (в широком смысле слова) учетной ставкой или антисипативным процентом.

В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил наибольшее распространение. В странах развитой рыночной экономики антисипативный метод начисления процентов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.

При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либопростыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).

Финансисту — инвестору ли (вкладчику), заемщику ли средств — в любом случае необходимо иметь представление о способе начисления процентов, подразумеваемом в каждой конкретной сделке, тем более, что при укрупнении масштабов операции каждый процентный пункт становится все «тяжелее» и «тяжелее».

В последующих разделах будут приведены вычисления и даны примеры и графики, наглядно демонстрирующие, сколь ощутимыми могут быть различия в результатах при разных способах начисления процентов. Непонимание различия между видами процентных ставок может при этом вылиться не только в упущенную выгоду, но и в значительные убытки.

Простые ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Введем следующие обозначения:

i (%) — простая годовая ставка ссудного процента;

i — относительная величина годовой ставки процентов;



Iг — сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

I — общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р — величина первоначальной денежной суммы;

S — наращенная сумма;

Kн — коэффициент наращения;

п — продолжительность периода начисления в годах;

д — продолжительность периода начисления в днях;

К — продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:



вариант 1 используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

вариант 2. берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням;

Этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа. Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Основная формула для определения наращенной суммы:

или


На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей, приведенной) величиной суммы S.

Определение современной величины наращенной суммы называетсядисконтированием, а определение величины наращенной суммы —компаундингом.

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления n1, n2, …nNиспользуются ставки процентов i1, i2, … IN, то

При N интервалах начисления наращенная сумма составит:

Простые учётные ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.



Дисконт — это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь

D(%) — простая годовая учетная ставка;

d — относительная величина учетной ставки;

Dг — сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D — общая сумма процентных денег;

S — сумма, которая должна быть возвращена;

P — сумма, получаемая заемщиком.

Тогда имеем следующие формулы:

Для наращенной суммы получаем:

Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств.

Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть


ic — относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

j — номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Очевидно, что по прошествии п лет наращенная сумма составит:

Сравнивая с простой ставкой коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу можно наглядно представить с помощью графиков, изображенных на рис. 1.

Здесь, как и на всех последующих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной — рубли.

Первоначальная сумма составляет 1000 руб., процентная ставка — 30% годовых. Верхняя линия соответствует наращению денежной массы в случае применения сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненциального роста.

Поэтому, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нашем распоряжении более пли менее значительный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке (см. рис 1).

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

Где:

n = n+ nb



na – целое число лет;

nb – оставшаяся дробная часть года.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

Если срок ссуды составляет п лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:

m – количество интервалов начисления в году.

В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а т — к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

е = 2,71828….



Из этой формулы следует:

Тогда:


Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях.

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти.

Так можно выразить Р – первоначальную сумму (дисконтирование):

Эта формула, а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают легко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Сложные учётные ставки

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов.

Пусть

dс (%) — сложная годовая учетная ставка;

dс — относительная величина сложной учетной ставки;

f — номинальная годовая учетная ставка.

По прошествии п лет наращенная сумма составит:

Сравнивая (формулы сложных декурсивных и антисипативных ставок, легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисииативный метод) идет быстрее.

Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный — для кредитора. Это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно (рис. 2).

Из формулы также явствует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только строго меньшие (т. е. не достигающие) 100%. Иначе величины Р или S не будут иметь смысла, становясь бесконечными или даже отрицательными.

Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий — меньше года — интервал, начисление т раз в году и т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогичным образом.

Так, для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем:

Для начисления процентов т раз в году формула имеет такой вид: 

Из полученных формул путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы:

Мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В заключение составим таблицу, дающую возможность наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления п.

Результаты вычислений, вероятно, будут неожиданными — наибольший рост капитала мы имели бы в случае начисления процентов по простои учетной ставке(Следует заметить, что на практике она не применяется на длительных, больше года. периодах начисления.)

Однако, для того, чтобы выбрать в каждом конкретном случае наиболее выгодную процентную ставку, не обязательно считать получаемые суммы. Можно воспользоваться эквивалентными процентными ставками, о которых пойдет речь в следующем разделе.

Эквивалентность процентных ставок

Часто при расчётах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалентных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях даёт одинаковые финансовые результаты.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем:

1.​ Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S).

2.​ На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности.

3.​ Путём соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Обозначения:



i – простая годовая ставка ссудного процента;

d – простая годовая учётная ставка;

ic – сложная годовая ставка ссудного процента;

dc – сложная годовая учётная ставка;

j – номинальная ставка ссудного процента;

f – номинальная учётная ставка.

Повторить все формулы:

1.​ Простая декурсивная

2.​ Простая антисипативная

3.​ Сложная декурсивная

4.​ Сложная антисипативная

5.​ С начислением несколько раз в год (декурсивная, антисипативная)

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками.

Пример:

Отсюда:


Пример 2: Сложная и простая декурсивная.

Сравнение доходности ценных бумаг:

Доходность определяется по эффективной ставке, в качестве которой выступает сложная декурсивная. Но методики начисления процентов по разным активам различны. Чтобы сравнить – выразить номинальную ставку в виде эффективной.

Полученная годовая ставка, эквивалентная номинальной процентной ставке называется эффективной ставкой сложных процентов.

Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнить процентные в случае, когда используются различные интервалы начисления.

Значение эффективной ставки больше номинальной.

Аналогичным образом получаем зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками.

Можно определить также процентную ставку, эквивалентную данной, когда начальные условия полностью или частично не совпадают. Данная ситуация может возникнуть, например, если есть возможность выбора между различными коммерческими предложениями.

Задача:

Какова должна быть сложная учётная ставка dc, чтобы сумма Р1, вложенная под эту ставку на n1 лет, достигла той же величины, что и сумма Р2, вложенная под сложную ставку ссудного процента ic на n2 лет?



Поскольку результаты обеих операций должны быть равны, составляем следующее уравнение эквивалентности:

Отсюда:


Аналогичные зависимости можно получать для любых видов процентных ставок.

Принцип эквивалентности также используется при решении вопросов финансовой эквивалентности будущих платежей.

Пример:

Как определить, что выгоднее, заплатить сумму S1 через n1 лет или сумму S2через n2 лет? Считаем S12 и n12. Для примера возьмём сложную ставку ссудного процента.



Для сравнения нужно найти современные стоимости этих платежей Ри Р2.

Очевидно, что для ic=0 S1=P1 и S2=P2. След-но: Р1


выгоднее выплачивать меньшую сумму S1.

Т.к. n12 при увеличении ic наступает момент, когда Р1>P2 См. рисунок:



P

P2

P1

i0

ic


Т.е.

Откуда:


Вывод:

Для всех ic0 предпочтительнее вариант с меньшей суммой и меньшим сроком. Для ic>i0 – с большими. При ic=i0 финансовые результаты обеих операций эквивалентны. Аналогичные формулы могут быть получены для всех видов процентных ставок.

Учёт влияния инфляции в принятии финансовых решений

Инфляция характеризуется снижением покупательной способности национальной валюты и общим повышением цен.

В различных случаях влияние инфляционного процесса неодинаково.

Для кредитора: теряет часть дохода за счёт обесценения денежных средств.

Для заёмщика: получает возможность погасить задолженность деньгами сниженной покупательной способности.

Механизм влияния инфляции рассматривается в форме простых математических расчётов и преобразований.

Пусть S - сумма, покупательная способность которой с учётом инфляции равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции.

Разница между этими суммами - S;

Отношение S/S – уровень инфляции (в процентах – темп инфляции).

Тогда для определения S получаем следующее выражение:

Величину (1+), показывающую, во сколько раз S больше S ( т.е. во сколько раз в среднем выросли цены), называют индексом инфляции Iи.

Повышение индекса инфляции за определённый период по сравнению с предыдущим таким же периодом указывает на ускорение инфляции, снижение – на уменьшение её темпов.



Инфляционный рост суммы S при годовом уровне инфляции подобен наращению суммы S по сложной годовой ставке процентов .

Через год сумма S’ будет больше суммы S в (1+) раз. По прошествии ещё одного года S” будет больше суммы S’ в (1+) раз, т.е. больше суммы S в (1+)2 раз.

Через n лет сумма Sn=S(1+)n

Т.е.


Теперь, на основании изученных в предыдущих параграфах формул, необходимо выяснить, как влияет инфляция на величину процентной ставки и будущую сумму при разных методах начисления процентов.

Если в обычном случае первоначальная сумма P при заданной ставке процентов превращается за определённый период в сумму S, то в условиях инфляции для сохранения покупательной способности на том же уровне она должна превратиться в сумму S, что требует уже иной процентной ставки.

Такая ставка называется – ставка, учитывающая инфляцию.

Тогда, используя предыдущие обозначения, принимается:



i - ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию;

d - учётная ставка, учитывающая инфляцию;

j - номинальная ставка сложного процента, учитывающая инфляцию;

и т.д.


Если задать годовой уровень инфляции и простую годовую ставку ссудного процента i. Тогда для наращенной суммы S, превращающейся в условиях инфляции в S, используется формула:

Для данной суммы ещё можно записать следующее соотношение:

Для этих двух формул можно составить уравнение эквивалентности:

Из этого уравнения следует, что

Эта формула называется формулой И. Фишера. В ней сумма +i - величина, которую нужно прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. Эта величина называется инфляционной премией.

Применение формулы Фишера для различных способов начисления процента за несколько лет позволяет определить ставки с учётом инфляции. При этом всегда удобно пользоваться значением индекса инфляции за весь рассматриваемый период (IИ).



Простая декурсивная ставка:

Уравнение эквивалентности:

Отсюда:

Аналогично находится простая антисипативная ставка, учитывающая инфляцию:



Сложная декурсивная ставка:

Если начисление процентов происходит несколько раз в год (m раз), то для определения номинальной ставки, учитывающей инфляцию, имеем:

Отсюда:

Таким же образом получаем формулы для случая сложных учётных ставок:



Используя полученные формулы, можно находить процентную ставку, компенсирующую потери от инфляции, когда заданы процентная ставка, обеспечивающая желаемую доходность финансовой операции, и уровень инфляции в течение рассматриваемого периода.

Можно получить формулы, позволяющие определить реальную доходностьфинансовой операции, когда задан уровень инфляции и ставка процентов, учитывающая инфляцию.

Например, для сложной декурсивной ставки:

Подставив в последнюю формулу вместо индекса инфляции выражение (1+)n, получим формулу:

Из этой формулы видно:

​ если ic(доходность и уровень инфляции равны), то ic=0, т.е. весь доход поглощается инфляцией;

​ если ic< (доходность вложений ниже уровня инфляции), то ic<0, т.е. операция приносит убыток;

​ если ic> (доходность вложений выше уровня инфляции), то ic>0, т.е. происходит реальный прирост вложенного капитала.

Аннуитеты

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода.

Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т.д.

Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основнымихарактеристиками:

​ величиной каждого отдельного платежа;

​ интервалом времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета);

​ сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени — вечные аннуитеты);

​ процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.

Аннуитеты классифицируются по сроку платежей:

​ аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название пренумерандо;

​ если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -пожалуй, самый распространенный случай.

Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью.

Такие аннуитеты и рассматриваются в рамках курса «Управление финансами». Подробное изучение других аннуитетов – прерогатива специализированных дисциплин.

Введем следующие обозначения:

Р – величина каждого отдельного платежа;

ic — сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

Sk— наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо;

S — наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

Ak  современная величина k-го платежа аннуитета постнумерандо;

А — современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);

SП — наращенная сумма аннуитета пренумерандо;

АП — современная величина аннуитета пренумерандо;

п — число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке ic,.

Рис.3 Будущая стоимость аннуитета постнумерандо

Сумма S1 для первого платежа, проценты на который будут начисляться, очевидно, (n-1) раз, составит по формуле сложной декурсивной ставки:

Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем:

и так далее. На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются, т. е.

Тогда для общей наращенной суммы имеем:

где ki,n — коэффициент наращения аннуитета с параметрами iп.

Он представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, для которой первый член а1 равен 1, а знаменатель (q) составляет (1+ic).

Используя математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

запишем выражение в более удобном для вычислений виде:

Для коэффициента наращения, соответственно, имеем:

Современная величина А данного аннуитета определяется следующим образом.

Рис. 4 Современная величина аннуитета постнумсрандо

При заданной процентной ставке ic современное значение каждого платежа будет определяться по формуле:

Это вытекает из рисунка.

Современная величина всего аннуитета, следовательно, составит:

где аi,n — коэффициент приведения аннуитета с параметрами i,n.

Это выражение опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а1=q=1/(1+ic).

Получается выражение для современной величины А:

Из выражений для расчёта будущей и современной величины аннуитета очевидно, что они связаны между собой выражением:

Из полученных формул путём преобразования можно получить формулы для расчёта очередного платежа (Р) или срока аннуитета (п).

Для аннуитета пренумерандо с теми же параметрами расчёт аналогичен.

Рис.5. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо

Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т. е. каждая наращенная сумма Sk увеличивается в (1+ic) раз. Следовательно, для всей суммыSП имеем:

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо:

Для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Ak будет больше в (1+ic) раз.

Таким образом:

А для коэффициента приведения получаем:

Если срок аннуитета п не ограничен, мы получаем случай вечного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для наращенной суммы не будет иметь экономического смысла, а современная величина будет рассчитываться следующим образом:

Для аннуитета пренумерандо, соответственно:

Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуитетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.

Ещё один важный вопрос при изучении потоков платежей — конверсия аннуитетов.

Под конверсией аннуитета понимается такое изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.

Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их современные величины, приведенные к одному и тому же моменту времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалентного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий выплаты долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом конверсия может произойти как в момент начала аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуитета. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.

Наиболее распространенные случаи конверсии постоянных аннуитетов:

1.​ Через некоторый промежуток времени n0 (он может быть равен и 0) после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока п1 = п — п0.

2.​ Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолженность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуитета, и требуется определить один из параметров аннуитета при заданных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, т. е. современная величина аннуитета, с помощью формул, рассмотренных выше, находим неизвестный параметр.

3.​ Период выплаты долга может быть изменен при сохранении прежней процентной ставки. Величину Р1 платежа для срока п1 находим, используя уравнения эквивалентности (приравниваются современные значения аннуитетов).

Очевидно, что, если срок аннуитета увеличится, значение Р сократится, и наоборот.

4.​ В некоторых случаях может потребоваться объединение нескольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных занятых.

Могут встречаться и другие случаи применения конверсии аннуитетов.

3.​ Учебно-методическое обеспечение.

a.​ Рекомендуемая литература

Основная литература

1.​ Мелкумов Я.С. Финансовые вычисления. Теория и практика: Учебно-справочное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 383 с.

2.​ Финансовый менеджмент: теория и практика: Учебник / Под ред. Е.С.Стояновой. – М.: Изд-во “Перспектива”, 2001.

3.​ Кочович Е. Финансовая математика. М.: Финансы и статистика, 1994.



Дополнительная литература

1.​ Мелкумов Я.С., Румянцев В.Н. Финансовые вычисления в коммерческих сделках. М.: Интел-Синтез, 1994.

2.​ Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчётов. М.: «Business Речь», Дело, 1995.

3.​ Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. – М.: ЮНИТИ, 1997.

4.​ Задание на контрольную работу.

Задание к контрольной работе составлено в вариантах. Выбор конкретного варианта зависит от начальной буквы фамилии студента и последней цифры номера зачётной книжки (табл.1)

Таблица 1

Выбор варианта практической части контрольной работы



№ зач. Кн.

(последняя

Цифра)

Заглав-


ная

буква


фамилии

студента


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А,З,П,Ч

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Б,И,Р,Ш

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

В,К,С,Щ

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

Г,Л,Т,Э

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

Д,М,У,Ф

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

Е,Н,Х,Я

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

Ж,О,Ц,Ю

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

Контрольные задания по вариантам

Вариант 1.

1.​ Кредит в размере 30000 руб. выдается на 2,5 года. Ставка процентов за первый год – 12%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1% (пункт). Начисление процентов осуществляется декурсивным методом по простой ставке. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

2.​ Первоначальная сумма долга равна 33000 руб. Определить наращенную сумму через 2 года и 3 квартала по ставке 15% годовых:

А) по простой ставке ссудных процентов;

Б) по сложной ставке ссудных процентов.

3.​ Рассчитать ставку ссудного процента, которая обеспечивает получение 5000 рублей, если сумма в 4000 рублей выдается в ссуду на 3 года:

А) по простой ставке;

Б) по сложной ставке.

4.​ Срок уплаты по долговому обязательству – 2 года. Сложная учетная ставка – 11%. Под какую ставку сложного ссудного процента нужно вложить первоначальную сумму, чтобы рассчитаться с долгом?

5.​ Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы эффективную годовую доходность в 14%, если начисление процентов происходит один раз в полгода.

Вариант 2

1.​ Кредит в размере 30000 руб. выдается на 2,5 года. Ставка процентов за первый год – 12%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1% (пункт). Начисление процентов осуществляется антисипативным методом по простой ставке. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

2.​ Первоначальная сумма долга равна 40000 руб. Определить наращенную сумму через 2 года и 3 квартала по ставке18% годовых:

А) по простой ставке ссудных процентов;

Б) по сложной учётной ставке.

3.​ Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 5000 рублей сейчас, если сумма кредита 6000 рублей должна быть возвращена через 3 года:

А) по простой ставке;

Б) по сложной ставке.

4.​ Срок уплаты по долговому обязательству – 2 года. Простая учетная ставка – 20%. Под какую ставку сложного ссудного процента нужно вложить первоначальную сумму, чтобы рассчитаться с долгом?

5.​ Определить номинальную учётную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в 13%, если начисление процентов происходит один раз в полгода.

Вариант 3.

1.​ Кредит выдан на 2 года. Реальная доходность операции должна составить 5% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 10% в год. Определить сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию и первоначальную сумму долга, если нужно отдать 80000 рублей по окончании срока.

2.​ Имеется серия платежей в течение 15 лет, которая предполагает ежегодную выплату суммы, равной 1500 рублей в начале первых 5 лет и 2000 рублей в конце остальных лет. Рыночная ставка дисконтирования оценена как ставка рефинансирования + 3 процентных пункта. В настоящее время ставка рефинансирования равна 10%. Какую сумму с учётом стоимости денежных средств во времени нужно иметь сейчас, чтобы заплатить по всему долгу сразу и какую сумму нужно будет иметь по окончании срока действия для оплаты всего долга одной суммой?

3.​ Семья хочет через 6 лет купить дачу за 12000$. Какую сумму ей нужно в конце каждого года добавлять на свой счёт в банке, чтобы накопить желаемую сумму, если годовая ставка процента по валютным вкладам в банке 8%.

4.​ Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы сумма 15000, вложенная на 5 лет достигла той же величины, что и сумма 10000, вложенная на 3 года по простой учётной ставке 18%.

5.​ Определить номинальную учётную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в 15%, если начисление процентов происходит один раз в квартал.

Вариант 4

1.​ Кредит выдан на 2 года. Реальная доходность операции должна составить 30% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 22% в год. Определить сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию и сумму кредита, если нужно отдать 8000 рублей по окончании срока.

2.​ Имеется серия платежей в течение 10 лет, которая предполагает ежегодную выплату суммы, равной 2500 рублей в конце первых 4 лет и 1500 рублей в начале каждого последующего года. Рыночная ставка дисконтирования оценена как ставка рефинансирования + 3 процентных пункта. В настоящее время ставка рефинансирования равна 10%. Какую сумму с учётом стоимости денежных средств во времени нужно иметь сейчас, чтобы заплатить по всему долгу сразу и какую сумму нужно будет иметь по окончании срока действия для оплаты всего долга одной суммой?

3.​ Заменить обыкновенный аннуитет платежом 600$ и длительностью 10 лет на серию платежей в течение 7 лет в конце каждого года, если процент альтернативного вложения 8% годовых.

4.​ Определить, какая сделка будет выгоднее: Заплатить через 3 года 3000 рублей по сложной учётной ставке 20%, или оплатить по тому же контракту долг через 5 лет, но уже в сумме 5500 рублей.

5.​ Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы эффективную годовую доходность в 13%, если начисление процентов происходит один раз в квартал.

Вариант 5.

1.​ Кредит в размере 35600 руб. выдается на 2,5 года. Ставка процентов за первый год – 16%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 2% (пункта). Начисление процентов осуществляется декурсивным методом по простой ставке. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

2.​ Первоначальная сумма долга равна 39000 руб. Определить наращенную сумму через 4 года и 2 квартала по ставке 12% годовых:

А) по простой ставке ссудных процентов;

Б) по сложной ставке ссудных процентов.

3.​ Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в 18%, если начисление процентов происходит один раз в полгода.

4.​ Кредит выдан на 4 года. Реальная доходность операции должна составить 17% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 10% в год. Определить сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию и сумму кредита, если нужно отдать 18000 рублей по окончании срока.

5.​ Имеется серия платежей в течение 20 лет, которая предполагает ежегодную выплату суммы, равной 1500 рублей в начале года. Рыночная ставка дисконтирования оценена как ставка рефинансирования, умноженная на 1,1. В настоящее время ставка рефинансирования равна 14%. Какую сумму с учётом стоимости денежных средств во времени нужно иметь сейчас, чтобы заплатить по всему долгу сразу и какую сумму нужно будет иметь по окончании срока действия для оплаты всего долга одной суммой?

Вариант 6.

1.​ Сумма в размере 17000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год – 12%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1% (пункт). Начисление процентов осуществляется антисипативным методом по простой ставке. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

2.​ Первоначальная сумма долга равна 4000 руб. Определить наращенную сумму через 1 год и 3 квартала по ставке 12% годовых:

А) по простой ставке ссудных процентов;

Б) по сложной учётной ставке.

3.​ Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в 14%, если начисление процентов происходит один раз в полгода декурсивным способом.

4.​ Кредит выдан на 4 года. Реальная доходность операции должна составить 14% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 11% в год. Определить сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию и наращенную сумму, если сумма кредита – 9000 рублей.

5.​ Имеется серия платежей в течение 6 лет, которая предполагает ежегодную выплату суммы, равной 3500 рублей в конце года. Рыночная ставка дисконтирования оценена как ставка рефинансирования умноженная на 1,1. В настоящее время ставка рефинансирования равна 12%. Какую сумму с учётом стоимости денежных средств во времени нужно иметь сейчас, чтобы заплатить по всему долгу сразу и какую сумму нужно будет иметь по окончании срока действия для оплаты всего долга одной суммой?

Вариант 7

1.​ Кредит в размере 12000 руб. выдается на 1,5 года. Ставка процентов за первый год – 20%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 3% (пункта). Начисление процентов осуществляется декурсивным методом по простой ставке. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму.

2.​ Первоначальная сумма долга равна 36000 руб. Определить наращенную сумму через 3 года и 2 квартала по ставке 15% годовых:

А) по простой ставке ссудных процентов;

Б) по сложной ставке ссудных процентов.

3.​ Рассчитать ставку ссудного процента, которая обеспечивает получение 15000 рублей, если сумма в 12000 рублей выдается в ссуду на 2 года:

А) по простой ставке;

Б) по сложной ставке.

4.​ Срок уплаты по долговому обязательству – 4 года. Сложная учетная ставка – 15%. Под какую ставку сложного ссудного процента нужно вложить первоначальную сумму, чтобы рассчитаться с долгом?

5.​ Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы эффективную годовую доходность в 18%, если начисление процентов происходит один раз в полгода по декурсивной ставке.

Вариант 8

1.​ Кредит выдается на 2,5 года. Ставка процентов за первый год – 20%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 2% (пункта). Начисление процентов осуществляется антисипативным методом по простой ставке. Определить коэффициент наращения и наращенную сумму, если заёмщик получил 60000 рублей.

2.​ Первоначальная сумма долга равна 43000 руб. Определить наращенную сумму через 2 года и 3 квартала по ставке 18% годовых:

А) по простой ставке ссудных процентов;

Б) по сложной учётной ставке.

3.​ Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 50000 рублей сейчас, если сумма кредита 250000 рублей должна быть возвращена через 3 года:

А) по простой ставке;

Б) по сложной ставке.

4.​ Срок уплаты по долговому обязательству – 2 года. Простая учетная ставка – 10%. Под какую ставку сложного ссудного процента нужно вложить первоначальную сумму, чтобы рассчитаться с долгом?

5.​ Определить номинальную учётную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в 13%, если начисление процентов происходит один раз в полгода декурсивным способом.

Вариант 9.

1.​ Кредит выдан на 2 года. Реальная доходность операции должна составить 3% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 9% в год. Определить сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию и сумму кредита, если нужно отдать 80000 рублей по окончании срока.

2.​ Имеется серия платежей в течение 18 лет, которая предполагает ежегодную выплату суммы, равной 1500 рублей в начале первых 5 лет и 2000 рублей в конце остальных лет. Рыночная ставка дисконтирования оценена как ставка рефинансирования + 2 процентных пункта. В настоящее время ставка рефинансирования равна 10%. Какую сумму с учётом стоимости денежных средств во времени нужно иметь сейчас, чтобы заплатить по всему долгу сразу и какую сумму нужно будет иметь по окончании срока действия для оплаты всего долга одной суммой?

3.​ Семья хочет через 6 лет купить дачу за 13000$. Какую сумму ей нужно в конце каждого года добавлять на свой счёт в банке, чтобы накопить желаемую сумму, если годовая ставка процента по валютным вкладам в банке 9%.

4.​ Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы сумма 1500, вложенная на 5 лет достигла той же величины, что и сумма 1000, вложенная на 3 года по простой учётной ставке 15%.

5.​ Кредит выдан на 4 года. Реальная доходность операции должна составить 17% годовых по простой ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 10% в год. Определить простую ставку процентов, учитывающую инфляцию и сумму кредита, если нужно отдать 18000 рублей по окончании срока.

Вариант 10

1.​ Кредит выдан на 4 года. Реальная доходность операции должна составить 7% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 12% в год. Определить сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию и сумму кредита, если нужно отдать 18000 рублей по окончании срока.

2.​ Имеется серия платежей в течение 15 лет, которая предполагает ежегодную выплату суммы, равной 3500 рублей в конце первых 5 лет и 2500 рублей в начале каждого последующего года. Рыночная ставка дисконтирования оценена как ставка рефинансирования. В настоящее время ставка рефинансирования равна 10%. Какую сумму с учётом стоимости денежных средств во времени нужно иметь сейчас, чтобы заплатить по всему долгу сразу и какую сумму нужно будет иметь по окончании срока действия для оплаты всего долга одной суммой?

3.​ Заменить обыкновенный аннуитет платежом 600$ и длительностью 15 лет на серию платежей в течение 14 лет в конце каждого года, если процент альтернативного вложения 9% годовых.

4.​ Определить, какая сделка будет выгоднее: Заплатить через 3 года 30000 рублей по сложной учётной ставке 14%, или оплатить по тому же контракту долг через 5 лет, но уже в сумме 55000 рублей.

5.​ Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы эффективную годовую доходность в 18%, если начисление процентов происходит один раз в полгода по антисипативной ставке.

Приложение 1



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ АКАДЕМИЯ ТУРИЗМА

Псковский филиал

Кафедра «Управления»

Контрольная работа

по дисциплине

«Финансовый менеджмент»

Тема: Математические основы финансового менеджмента

2 вариант

Выполнил:

Студент группы __________ Михайлов И.И.

Проверил:

Доцент,

к.э.н. С.М. Марков

Псков

2014


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница