Лекции по финансовой математике




страница1/8
Дата05.05.2016
Размер0.65 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8
Лекции по финансовой математике


Модуль 1. Простые проценты
Золотое правило бизнеса:

Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра
В основе финансово-экономических расчетов лежит понятие временной ценности денег. В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не менее важную роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом не равноценности денег, относящихся к разным периодам времени.

Дело в том, что, даже в условиях отсутствия инфляции и риска, 1000 руб., полученных через год, не равноценны этой же сумме, полученной сегодня. Не равноценность определяется тем, что любая сумма денег может быть инвестирована сегодня и принести доход в будущем. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д.

Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Известный афоризм, «время - деньги» (Time is money) как нельзя лучше выражает сущность современного количественного финансового анализа.
Расчет и анализ любой финансовой операции начинается с приведения всех платежей, осуществленных в различные моменты времени, к одному моменту (настоящему или будущему), только после этого денежные суммы можно между собой сравнивать, вычитать, складывать.
Описание изменения денежных сумм во времени производится путем вычисления дохода от инвестирования денег, т.е. путем начисления процента на первоначальную сумму, поэтому теория процентных ставок – основа временной стоимости денег.
Основные понятия кредитной операции
Получение кредита – наиболее распространенная финансовая сделка. Она характеризуется следующими величинами:
K – начальный капитал или сумма ссуды;
S – наращенная сумма или полная стоимость кредита с процентами.
I = S - K – доход (процентные деньги, проценты), получаемый кредитором от предоставления денег в долг;
n – период начисления процентов в годах,

, n =1 год – процентная ставка – относительная величина дохода в сумме долга за единицу времени.

Процентная ставка i может измеряться в процентах (%), в виде десятичной или натуральной дроби.


Например: i=15% =0.15;

i=200%=2.0 и т.д.


В формулах для финансовых расчетов процентная ставка берется в виде десятичной дроби.
1. По базе начисления проценты делятся на простые и сложные.
Если база постоянна на весь период начисления процентов, используют простые проценты. Обычно период начисления в этом случае n < 1 года.

Если за базу для начисления принимается сумма, полученная из предыдущей, с прибавлением к ней процентов ,то используют сложные проценты (иначе, процент на процент)


2. По принципу расчета процентов различают ставки наращения i и учетные ставки d.
Плата за кредит может взиматься как в конце срока, так и в его начале.

В первом случае проценты начисляются в конце срока, исходя из величины предоставляемой суммы K, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами, т.е S = K + I .

Такой способ начисления процентов называется декурсивным.

Процентная ставка , (n=1 год) называется ставкой наращения.
Во втором случае процентный доход D называемый дисконтом, выплачивается в начале срока. При этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину , т.е S - D; а возврату в конце срока подлежит вся исходная ссуда S.

Такой способ начисления процентов называется антисипативным, а процентная ставка – учетной ставкой.

Учетная ставка


3. Процентные ставки могут быть фиксированными (постоянными), когда в контракте (сделке, финансовой операции) указывается их размер или «плавающие», когда фиксируется не сама ставка, а изменяющиеся во времени базовая ставка и надбавка к ней, называемая маржой.
4. По периоду начисления проценты делятся на дискретные проценты и непрерывные проценты.

Дискретные проценты начисляются за фиксированные в договоре интервалы времени (год, полгода, квартал, месяц, день).

Непрерывные проценты связаны с непрерывным интервалом начисления.

Операция наращения состоит в том, что по сегодняшней сумме ссуды K рассчитывается ее будущая стоимость S.

Операция дисконтирования состоит в том, что на сегодняшний момент времени пересчитывается некоторая будущая сумма денег S.

В этом случае сумму K называют современной или приведенной величиной.


Простые проценты
Простые проценты - это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику.

Сущность простых процентов состоит в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала К в течение всего срока ссуды. Простые проценты дают больший доход при их начислении на срок меньше года.

Основная формула простых процентов:

или , где

К - начальный капитал,

I - доход (процентный платеж, процентные деньги или просто проценты), получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;

p - процентная ставка, показывающая сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала за год,

т. е. годовая ставка в процентах. Если ставка измеряется в долях единицы, то она обозначается буквой


Если деньги отданы взаймы под проценты, то заемщик возвращает наращенную сумму
S = K + I = K + Kni = K(1 + ni), где

- процентная ставка в долях единицы, n - время в долях года.

Доход за n лет I = Kni,



(1 + ni) - множитель наращения по простым процентам.
Итак, если по начальному капиталу (сегодняшним деньгам) K находится будущая сумма денег S, то операция называется наращением.

Если же, зная будущие деньги S, находят их сегодняшнюю сумму K по формуле: , то операция называется математическим дисконтированием, - дисконтный множитель.



Задача1.

Капитал 200 тыс.руб. вложен в банк на 8 месяцев под 12% годовых.

Найти сумму, которая будет получена к концу срока.

К = 200 тыс.руб., n =года, i = 0,12, p = 12% . S = ?


Решение:

I способ.

S = K + I, I = .

I = = 16 тысяч руб.
S = 200 + 16 = 216 тысяч руб.
II способ.

Ставка годовая, срок n в месяцах переведем в доли года: n = 8 месяцев = года.

S = K(1 + ni)=200(1 +.0,12) = 216 тысяч руб.

Задача 2.

Капитал 200 тыс.руб. вложен в банк на 80 дней под 12% годовых.

Найти величину вклада через 80 дней. Расчет сделать точным и банковским методом.
Решение:

K = 200 тысяч руб. n =года или n = года, i = 0,12, S=?



1.Точный метод:

Т.К. ставка годовая, срок n переведем в доли года: n = года,

S = K(1 + ni) = 200(1 + тыс.руб.


  1. Банковский метод:

Срок n = года,

тыс.руб.
Банковский метод дает большее наращение.
Ставка i и время n в этих формулах соразмеримы.
Это значит, что если ставка годовая, время измеряется в годах; если ставка полугодовая – время в полугодиях и т.д.
Задача 3.

Начальный капитал 30 млн. руб. Найти наращенную сумму через 5 месяцев по

а) ежегодной ставке 30 %;

б) ежемесячной ставке 3 %;

в) квартальной ставке 5 %.

Решение:

S = k(1 + ni), k = 30 млн., n = 5 месяцев.

а) Т. к. 30 % - годовая ставка, время переводим в доли года n = 5 месяцев = года.

S = 30(1 + ) = 33,75 млн. руб.

б) I способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах:

3 % - ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,

S = 30(1 + = 34,5 млн. руб.



II способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежемесячную ставку в годовую, и время в месяцах переведем в доли года:



- годовая ставка, n = 5 месяцев = года,

S = 30(1 + = 34,5 млн. руб.

в) I способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежеквартальную ставку, и время в месяцах переведем в кварталы, помня о том, что 1 квартал равен 3 месяцам:

5 % - ежеквартальная ставка, n = 5 месяцев = квартала,

S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.



II способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежеквартальную ставку в годовую, и время в месяцах – в доли года:



квартала = 20% - годовая ставка, n = 5 месяцев = года,

S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.


III способ.

Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах:



% - ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,

S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.





  • Обратите внимание:

Ставка годовая, срок измеряется в годах;

Ставка ежемесячная, срок - в месяцах и т. д.




Банковский учет. Учет векселей.

Операция по учету векселей состоит в том, что банк до срока погашения покупает (учитывает) вексель у его держателя.

При работе с векселями начальный капитал К находят, используя учетную ставку d.
;

(1 - nd) называется дисконтным множителем.

Такое дисконтирование называется банковским учетом или учетом векселей.

Согласно этому методу, проценты за использование ссуды в виде дисконта D = Snd начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (т.е. не на начальный капитал К, а на наращенную сумму S).

Из формулы банковского учета

Это формула наращения по простой учетной ставке.

В этих формулах n – срок от момента учета векселя до момента его погашения.

Задача 4. Векселедержатель предъявил для учета вексель на 5 млн.руб. со сроком погашения 28.09.96. Вексель предъявлен 13.09.96.

Какую сумму получит векселедержатель, если:

а) вексель погашается по учетной ставке d = 0,75;

б) вексель погашается по процентной ставке i = 0,75?

Решение:

1) по учетной ставке К = S(1 - nd) = 5(1 -  0,75) = 4,844 млн.руб.



  1. по процентной ставке К == 4,848 млн.руб.

Вексель выгоднее учитывать по процентной ставке, в этом случае векселедержатель получает большую сумму.



Одновременное наращение и дисконтирование
В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга K, необходимо решить две задачи:

  1. определить конечную сумму долга S на момент его погашения;

  2. рассчитать сумму K1, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета.

В задачах такого типа при работе с векселями рассматриваются три даты: выдачи векселя, его учета и его погашения.

Срок между датами выдачи и погашения обозначим n, за это время первоначальная сумма K по ставке i вырастет до суммы S = K(1+ni).

Срок между датами учета векселя и его погашением обозначим через n1. Найдем сумму. Полученную при учете векселя, дисконтируя сумму S по ставке d: K1 = S(1-n1d).

Оба действия можно объединить в одно:

K1 = K (1+ni)(1-n1d).


Задача 5.

Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d =15%. Требуется найти сумму, полученную при учете.


Решение:

Формулы доходности финансовых операций

Если в формулах наращения по процентной и учетной ставке принять срок n = 1 году, то получим, что



.

Если n1 году, .

Эти формулы принято называть формулами доходности или эффективности по простой ставке процентов и учетной ставке соответственно.

Задача 6.

Предприятие получило кредит на 1 год в размере 100 млн. с условием возврата 150 млн.

Найти доходность операции для кредитора в виде процентной и дисконтной (учетной) ставок.

К = 100 млн., S = 150 млн., n = 1 год. I = ?, d = ?


Решение:


Дисконтная ставка всегда меньше процентной, ибо она учитывает время более жестко.
Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки задается в неявном виде. Выведем формулы, с помощью которых можно вычислить значения этих ставок.

Пусть S- размер погасительного платежа (сумма ссуды к концу срока), dn – доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды.

К = S(1 – dn) – реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

Тогда ;



.
Задача 7.

Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней.

Решение:



  1   2   3   4   5   6   7   8


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница