И. В. Демкин Управление инвестиционным риском с использованием опционов




Скачать 423.32 Kb.
страница4/5
Дата22.04.2016
Размер423.32 Kb.
1   2   3   4   5

4.2.1. Коэффициент хеджирования
Количество акций эквивалентного портфеля называют коэффициентом хеджирования. Предположим, что стоимость акции увеличится на 1 пункт сразу же вслед за началом первого года инвестиций. Так как в портфель входит акций, то стоимость такого портфеля возрастет на пунктов. В связи с тем, что опцион и эквивалентный портфель должны продаваться по одной цене, то стоимость опциона также возрастет на пунктов. Таким образом, коэффициент хеджирования показывает, на сколько пунктов (ед.ст.) возрастет (уменьшится) стоимость опциона при возрастании стоимости акции на один пункт. Коэффициенты хеджирования опционов продавца и покупателя связаны соотношением [5]:

, где: (11)

- коэффициенты хеджирования опционов покупателя и продавца соответственно.
4.2.2. Паритет цен опционов продавца и покупателя
Между ценами опционов продавца и покупателя с одними и теми же ценами исполнения и сроками существует выражение ценового паритета, которое справедливо для любого момента времени вплоть до истечения срока исполнения опциона [6]:

, где: (12)

-стоимость базисного актива, лежащего в основе опциона;

- стоимости опционов на продажу и покупку соответственно;

-цена исполнения опциона, дисконтированная на момент оценки стоимости опционов по безрисковой ставке непрерывного начисления процентов.

Выражение паритета цен опционов справедливо при следующих дополнительных предположениях:



  • инвестор обладает прямым доступом на финансовый рынок, т.е. ему не приходится оплачивать трансакционные издержки, выполняя операции на финансовом рынке, а также он может брать деньги в ссуду (давать в долг) под фиксированный процент (т.е. на уровне доходности по безрисковым финансовым инструментам);

  • в течение срока действия опционов по базисным активам не предполагается выплаты дивидендов.

Если бы выражение (12) не имело место в указанных условиях, инвесторы имели бы источник получения гарантированных доходов без какого-либо риска. В самом деле, рассмотренные ниже стратегии обеспечивают одинаковые денежные поступления к моменту истечения срока опционов при любых ценах базисных активов:

  • стратегия А. Покупка актива, одного опциона продавца этих активов (цена исполнения опциона равна , срок исполнения - ) и получение займа (продажа облигации) на сумму ;

  • стратегия Б. Приобретение опциона покупателя (цена исполнения опциона равна , срок исполнения - ).

Таблица 4 отражает финансовые потоки к моменту истечения срока обоих опционов при любой возможной стоимости актива. Стратегию А называют синтетическим опционом покупателя, так как покупка актива с одновременным приобретением опциона продавца и получением займа, равного современной стоимости цены исполнения опциона эквивалентна покупке одного опциона покупателя. Если издержки по реализации обеих стратегий различны, у инвестора появляется возможность проведения арбитражных операций. Например, в случае если опцион покупателя стоит дороже синтетического опциона на покупку опытный инвестор продает опцион покупателя, направляя часть вырученных средств на реализацию стратегии А. К моменту истечения срока опционов при любой стоимости актива стоимость синтетического опциона будет совпадать со стоимостью проданного опциона покупателя. Поэтому оставшаяся на текущий момент часть средств представляет чистый положительный доход от такой арбитражной операции, полученный без какого либо риска. С другой стороны, если стоимость опциона покупателя меньше стоимости синтетического опциона, инвестор покупает первый опцион и осуществляет финансовые операции, обратные операциям синтетического опциона. В этом случае инвестор также получает гарантированный доход в текущий момент времени. Отсутствие подобных арбитражных операций означает одинаковую стоимость опциона покупателя и синтетического опциона на покупку, что означает справедливость выражения паритета цен (12).

Таблица 4



Финансовые потоки к моменту истечения срока опционов






Цена актива к моменту истечения срока опционов





Стратегия А

Стоимость актива

S

S

Стоимость опциона на продажу



0

Выплаты по кредиту (погашение облигации)

-

-

Итоговое сальдо

0



Стратегия Б

Стоимость опциона на покупку

0




4.2.3. Оценка стоимости реального опциона на основе выражения паритета цен
Аналогичная оценка стоимости опциона продавца может быть получена при использовании выражения паритета цен опционов продавца и покупателя с одинаковой ценой исполнения и датой истечения. Для этого вначале оценим стоимость аналогичного опциона на покупку с той же ценой исполнения и датой истечения, совпадающей с концом первого года инвестиций.

Если цена исполнения опциона на покупку равна 90 ед.ст., то стоимость опциона (доход от его продажи) в конце первого года будет составлять либо ед.ст. (при оптимистическом сценарии развития проекта) либо =0 ед.ст. (при пессимистическом сценарии развития проекта).

Найдем портфель ценных бумаг, приносящий инвестору такой же доход, что и доход по опциону покупателя.

Определим стоимость эквивалентного портфеля в конце года при оптимистическом сценарии развития проекта:



(13)

С учетом предыдущей оценки стоимости получим:



(14)

Аналогично, при пессимистическом сценарии развития проекта, стоимость опциона на покупку в конце первого года будет равна:



(15)

В условиях рассматриваемого примера имеем:



(16)

Вычитая обе части уравнения (15) из соответствующих частей уравнения (13), получим:



акции (17)

Таким образом, чтобы сформировать эквивалентный портфель необходимо купить 0,15 акции и не проводить операций с облигациями (у=0). Стоимость опциона на покупку в начале первого года совпадает со стоимостью эквивалентного портфеля в этот момент и может быть вычислена следующим образом:



ед.ст. (18)

Исходя из паритета цен опционов на покупку и продажу (12), определим окончательную первоначальную стоимость опциона на продажу :



,где: (19)

-безрисковая процентная ставка непрерывной капитализации процентов;

-срок истечения опциона.

Учитывая взаимосвязи непрерывных и дискретных ставок, а также то, что в условиях нашего примера , окончательно найдем стоимость опциона на продажу:



ед.ст. (20)

Стоимость эквивалентного портфеля составляет справедливую стоимость опциона. В противном случае, возникает возможность совершить арбитражные финансовые операции, заключающиеся в покупке наиболее дешевого из двух альтернативных портфелей и продаже более дорогого из них с целью извлечения гарантированной прибыли без всякого риска.

Предположим, что опцион стоит 30 ед.ст. и, следовательно, он переоценен. В этом случае инвестор может выписать опцион, продать 0,49 акции и приобрести облигации на сумму 81,8 ед.ст. Получаемая инвестором сумма в этом случае составит ед.ст., что объясняет чистый приток финансовых средств инвестора. В конце года инвестор выкупит опцион, 0,49 акции и получит доход от погашения облигации. Сальдо всех финансовых операций инвестора в этот момент в случае реализации оптимистического сценария развития составит: . Аналогичное сальдо операций в случае реализации пессимистического сценария развития составит: . В связи с тем, что независимо от цены акции в конце первого года инвестиций, сальдо операций равно нулю, то инвестор получит в начале года гарантированную прибыль 5,6 ед.ст. Аналогично, если стоимость реального опциона меньше, чем 24,4 ед.ст. (опцион недооценен), инвестор выполнит обратные вышеупомянутым операции и получит также гарантированную прибыль. Такая ситуация не может быть равновесной в экономике, поскольку любой инвестор может получить гарантированный доход подобным образом.
4.3. Многопериодный биноминальный метод оценки стоимости опционов
Дж. Кокс, М. Рубинштейн, Р. Джерроу, А. Радд [9] произвели обобщение однопериодного биноминального метода для любого числа периодов. Рассмотрим характерные особенности применения трехпериодного биноминального метода для оценки безарбитражной цены опциона продавца в условиях рассматриваемого выше примера. Вместо ранее рассмотренной двухуровневой модели оценки стоимости активов в конце первого года инвестиций применим модель с тремя уровнями оценок. Возмещаемые суммы в условиях каждого из сценариев примера соответственно равны:

ед.ст.

ед.ст.

ед.ст.
Рассмотрим вероятные оценки возмещаемых сумм для двух промежуточных состояний, соответствующих развитию проекта на конец первого полугодия. Пусть обозначают возмещаемые суммы на конец первого полугодия соответственно в условиях оптимистического и пессимистического сценариев развития проекта.

Для простоты положим, что оценка совпадает со среднеарифметической оценкой возмещаемых сумм на конец первого года в условиях оптимистического и наиболее вероятного сценариев, которая дисконтирована на конец первого полугодия. Аналогично, примем предположение о совпадении оценки со среднеарифметической оценкой возмещаемых сумм в конце первого года в условиях пессимистического и наиболее вероятного сценариев, дисконтированной на конец первого полугодия. В условиях рассматриваемого примера имеем:



ед.ст.

ед.ст.

На рис.1 показана динамика оценки возмещаемых сумм в условиях различных сценариев будущего развития проекта с полугодовым интервалом.


Рис 1. Динамика оценки возмещаемых сумм

в условиях различных сценариев

будущего развития проекта


Рассматриваемый метод основан на многократном использовании однопериодной биноминальной модели. Зная стоимости опционов к концу первого года инвестиций для каждого сценария будущего развития, можно оценить соответствующие стоимости опционов к концу первого полугодия. Далее, продвигаясь к начальной вершине дерева, можно оценить окончательную стоимость опциона на начало первого года инвестиций. В условиях примера стоимости опциона продавца к концу первого года инвестиций применительно к оптимистическому, наиболее вероятному и пессимистическому сценариям будущего развития соответственно равны ед.ст., ед.ст., ед.ст. Тогда стоимость опциона к концу полугодия в условиях первого оптимистического сценария равна нулю, т.е. опцион не будет иметь рыночной стоимости. Учитывая, что значение полугодовой безрисковой ставки равно 5%, из однопериодной модели (5),(7),(10) оценим стоимость опциона к концу полугодия в условиях второго пессимистического сценария :

ед.ст.

Возвращаясь к моменту начала инвестиций, мы имеем дело с возмещаемой суммой, равной 117,1 ед.ст. Поскольку стоимость опциона продавца через полгода окажется либо ед.ст., либо ед.ст., а возмещаемая сумма окажется либо ед.ст., либо ед.ст., можно утверждать, что к моменту начала инвестиций цена опциона продавца равна:



ед.ст.

На рис.2 проиллюстрирована динамика оценки стоимости опциона в условиях различных сценариев будущего развития с полугодовым интервалом.


Рис 2. Динамика оценки стоимости опциона

в условиях различных сценариев будущего развития проекта
Можно заметить, что стоимость опциона, оцененная по двухпериодной модели, оказалась меньше аналогичной стоимости, рассчитанной по модели с одним периодом. Это следует из введения в рассмотрение в двухпериодной модели наиболее вероятного сценария развития проекта и, следовательно, снижения шансов пессимистического сценария при прочих равных условиях. Последнее обстоятельство, в свою очередь, приводит к уменьшению платы за инвестиционный риск.
4.4. Оценка стоимости реальных опционов с использованием модели Блека-Шоулса
Рассматривая стоимость актива, лежащего в основе опциона покупателя, как непрерывную случайную величину, можно перейти от биноминальной многопериодной модели к модели оценки Блека-Шоулса [5]. Результаты данной модели получены при следующих дополнительных предположениях:


  • доходность базового актива, лежащего в основе опциона покупателя характеризуется на протяжении периода до истечения срока опциона логнормальным распределением вероятностей;

  • также как и при использовании биноминальной модели предполагается отсутствие транзакционных издержек и налогов с доходов;

  • отсутствие выплат дивидендов в течение срока действия опциона (указанное ограничение снимается в модели Р. Мертона [7]);

  • свободное обращение любых активов на финансовых рынках (акций, облигаций с фиксированным доходом и различными сроками погашения, опционных контрактов);

  • процентные ставки по ссудам и займам с нулевым риском равны между собой;

  • состав портфеля в любой момент времени можно мгновенно корректировать;

  • опцион европейского типа, т.е. он может быть исполнен только по истечении срока.

Согласно данной модели стоимость европейского опциона на покупку актива за период до его выполнения выражается следующим образом:

(21)

где: .

Здесь использованы следующие обозначения:

период исполнения опциона в единицах времени;

безрисковая ставка доходности в виде номинальной ставки непрерывного начисления процентов за единичный период времени. На практике применяется существующая непрерывная годовая ставка без риска для инвестиций, осуществляемых на период . В качестве безрисковой ставки участники финансовых рынков во всем мире берут доходность к погашению, предлагаемую по ходовой, т.е. недавно выпущенной Казначейством США ценной бумаге со сроком погашения равным t [5]. Такие ценные бумаги полностью гарантируются правительством США и поэтому не имеют кредитного риска;

текущая цена базового актива;

цена исполнения опциона;

риск базового актива, определяемый в виде стандартного отклонения доходности актива;

функция нормального распределения, показывающая вероятность того, что нормированная нормальная переменная примет значение не больше .

В условиях рассматриваемого примера текущая цена базового актива представляет собой возмещаемую сумму в начале инвестиций, которая с учетом сделанных ранее упрощений равна 117,1 ед.ст. Цена исполнения опциона покупателя представляет сумму чистых дисконтированных доходов к концу первого года инвестиций согласно наиболее вероятному сценарию будущего развития проекта. В условиях примера цена исполнения равна 90 ед.ст. Основная проблема использования модели Блека-Шоулса для оценки стоимости реальных опционов состоит в определении значения риска (стандартного отклонения доходности актива). Рассмотрим влияние ключевых факторов на стоимость опциона и основные подходы, применяемые к оценке риска базового актива.


4.4.1. Ключевые факторы модели Блека-Шоулса
Модель Блека-Шоулса позволяет выявить ключевые факторы, которые оказывают заметное влияние на стоимость опциона. Характер такой зависимости представлен в таблице 5.

Таблица 5.



Характер влияния основных факторов на стоимость опциона покупателя

Фактор

Характер влияния фактора на стоимость опциона покупателя

Цена актива

положительное

Цена исполнения опциона

отрицательное

Срок опциона

положительное

Риск (стандартное отклонение доходности актива)

положительное

Безрисковая ставка доходности

положительное



4.4.2. Особенности оценки риска базового актива
Риск базового актива, измеряемый стандартным отклонением, задает меру рассеяния цены актива и характеризует скорость изменения рынка активов. Большое значение стандартного отклонения свидетельствует о том, что цена актива колеблется в широком диапазоне цен. И, наоборот, малое значение стандартного отклонения говорит об относительно низких колебаниях цен. Различают три типа стандартных отклонений:

  • прогнозируемое;

  • историческое;

  • внутреннее.

Прогнозы экспертов относительно будущего значения стандартного отклонения называют прогнозируемым стандартным отклонением. Фактическое стандартное отклонение за тот или иной предыдущий период времени именуют историческим стандартным отклонением. Стандартное отклонение, вычисленное на основе аналитических формул, например на основе модели Блека-Шоулса, в условиях определенности всех остальных параметров (рыночная цена опциона, время до истечения опционного контракта, цена исполнения, цена актива, безрисковая ставка) называется внутренним стандартным отклонением.

В моделях оценки стоимости опционов для расчетных целей применяют историческое стандартное отклонение . При этом используют два основных метода [5]. Первый заключается в том, что в качестве наблюдаемой случайной величины, называемой доходностью актива, используют отношение изменения цены за период к ее значению на начало периода. В качестве наблюдаемой величины второго метода, называемого логарифмическим методом, используют натуральный логарифм отношения цены актива в конце периода к значению, определяемого на начало периода. Таким образом, историческое стандартное отклонение может быть рассчитано по формуле:



, (22)

где: число наблюдаемых периодов,



- наблюдаемая случайная величина (доходность актива),

-выборочное среднее значение случайной величины, определяемое соотношением:

(23)

Наблюдаемая случайная величина согласно первому методу определяется следующим образом:



, (24)

где: - цена базового актива в конце периода .

Согласно логарифмическому методу расчета:

(25)

Результаты расчетов с использованием каждого из методов не сильно отличаются друг от друга [6].

Необходимо отметить, что расчеты исторического стандартного отклонения зависят от величины выбранного периода и их числа. Если базой для расчетов стандартного отклонения служит продолжительный период времени (его продолжительность заметно превышает период исполнения опциона), то возникает проблема «устаревания» информации. В противном случае, встает проблема недостаточной точности расчетов вследствие незначительного объема выборочной информации.

Произведем грубую оценку риска проекта логарифмическим методом. Также как и ранее упростим задачу оценки стоимости создаваемых согласно проекту активов. Пусть указанная стоимость определяется только наиболее вероятным сценарием будущего развития проекта. Тогда возмещаемые суммы в начале первого, второго, третьего и четвертого годов соответственно равны 117,1;140,6;96,7 ;20 ед.ст. Наблюдаемые доходности проекта соответственно равны ; ; . Среднее значение доходности проекта составит: -0,59. Оценка риска проекта согласно выражению (22) составит 0,8. Найдем значение безрисковой годовой процентной ставки непрерывной капитализации процентов, которая была бы эквивалентна эффективной ставке 10%:



Данных достаточно для оценки стоимости опциона покупателя по модели (21):





0,8017;0,5191; ед.ст..

Используя рассмотренное выражение паритета цен опционов (12), найдем стоимость опциона продавца:



ед.ст.
1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница