Экономико-математические модели >13 Математические модели и точность экономических расчётов




Скачать 295.24 Kb.
страница1/3
Дата24.04.2016
Размер295.24 Kb.
  1   2   3
ГЛАВА 13. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
13.1. Математические модели и точность

экономических расчётов
Всякая теория является своеобразной приставкой к измерительным средствам, существенно расширяющей объём информации, который они дают. Как и измерительные средства, математическая модель имеет погрешность, мерой которой является расхождение её предсказаний с практикой.

Широко применяющийся в настоящее время термин «математическая модель» вошёл в употребление сравнительно недавно – лет 50 тому назад. Ранее это же самое называли и проще и точнее – «приближённая теория» (такого-то явления), причём само собой подразумевалось, что каждое явление может быть описано несколькими вариантами теории, обладающими разными уровнями погрешности. Недостаток термина «математическая модель» состоит в том, что в нём отсутствует существенный эпитет «приближённая», подчёркивающий существование связи «модели» с описываемым ею явлением и неполную адекватность этой связи. Это иногда даёт повод для формально-математического подхода к моделям в отрыве от тех конкретных задач, для решения которых они предназначены.

При рассмотрении любой задачи (экономической, социологической, экологической, управленческой и т. п.) на основании её математической модели не следует забывать как о конечной цели расчёта, которой является отнюдь не число, а получение информации о картине рассматриваемого явления и о взаимном влиянии характеризующих его параметров, так и о погрешности математической модели.

Что касается точности экономических расчётов, то следует помнить, что «первое правило всяких вычислений состоит в том, чтобы точность результатов, ими доставляемых, соответствовала той практической потребности, для которой вычисления производятся. Очевидно, что расчёты не точны, но слова «не точны» не равносильны словам не пригодны для дела» (из доклада академика А.Н. Крылова председателю Морского технического комитета, 1904 г.).


13.2. Равновесие спроса и предложения
Микроэкономика занимается анализом деятельности отдельных звеньев хозяйственной системы. Это могут быть отдельные фирмы, предприятия, рынки конкретных видов товаров и услуг и т. д. Один из важнейших вопросов микроэкономики состоит в изучении взаимодействия спроса и предложения.

Спрос на данный товар – это потребность в определённом количестве товара, ограниченная действующими ценами и платёжеспособностью потребителей. Предложение можно определить как количество товара, которое может быть представлено на рынке для продажи по данной цене.

Выпуск дополнительной продукции требует дополнительных затрат. Чтобы побудить к этому производителя, надо предложить ему повышенную цену, т. е. предложение является некоторой функцией цены. Если обозначить предложение через S, а цену через P, то сказанное выше можно записать в виде



. (13.1)

Эта функция может быть достаточно сложной, и, кроме того, предложение S может зависеть не только от цены на товар P, но и от других факторов. Этими факторами сейчас пренебрежём. В экономике график зависимости предложения от цены называется кривой предложения. Экономисты предпочитают независимую переменную P откладывать на вертикальной оси координат, а значение функции S – на горизонтальной оси. Разрешая равенство (13.1) относительно цены P, можно записать его в виде:



, (13.2)

где функция, называемая обратной функцией по отношению к и имеющая графиком ту же кривую предложения.

Конкретный вид зависимости (13.2) может быть получен или из статистических данных, или из экономической теории. Сделаем предположение, что эту зависимость можно представить в первом приближении самой простой, а именно линейной функцией:

, (13.3)

где и некоторые постоянные величины, называемые параметрами и определяемые эмпирически.

Разумеется, предположение о линейной зависимости цены P от предложения S является сильным упрощением действительности. Однако, во-первых, линейная функция самая простая и анализировать её легче всего, во-вторых, это даёт возможность хотя бы немного приблизиться к решению задачи. Такой приём, при котором мы выделяем некоторые существенные черты из реальной задачи, а потом делаем упрощающие предположения, получил название «моделирование». При этом реальная задача «заменяется» какой-либо моделью, исследуя которую мы можем делать предсказания. Чем ближе модель к действительности, тем она сложнее и тем точнее предсказания, которые можно с её помощью сделать.

Экономическая теория и здравый смысл подсказывают, что предложение товара растёт с ростом цены. Действительно, чем выше цена на товар, тем большее число производителей стремится предложить этот товар на рынке. Это, в свою очередь, означает, что функция (13.3) является возрастающей функцией, т. е. (рис. 96).

Займёмся теперь изучением кривой спроса. В отличие от кривой предложения она является убывающей функцией. Действительно, если цена на какой-то товар растёт, то количество проданного товара будет уменьшаться. Предположим теперь, что и кривую спроса можно в первом приближении также представить прямой линией. Тогда, будучи убывающей функцией, кривая спроса может быть записана в виде:

, , (13.4)

где цена, спрос, и постоянные величины, т. е. параметры. График кривой спроса в линейном приближении изображён на рис. 97.


Рис. 96 Рис. 97

Спрос и предложение относятся к какому-то определённому виду товара или группе товаров. Количество товара в зависимости от вида может измеряться в различных единицах: автомобили в штуках, нефтепродукты в тоннах и т. д. Важно, что эти единицы для спроса и предложения одни и те же. Поэтому, обозначая количество товара буквой , мы можем кривые спроса и предложения изобразить на одном графике (рис. 98).

В микроэкономике представляет интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка называется точкой равновесия, соответствующая ей ценаравновесной ценой, а количество товара с равновесной ценой равновесным объёмом спросапредложения. Такие названия связаны с тем обстоятельством, что в точке равновесия спрос приходит в соответствие с предложением, т. е. весь произведённый товар находит своего покупателя, и все желающие купить данный товар имеют возможность сделать это.

Рис. 98 Рис. 99

Не меньше чем равновесная цена представляет интерес и отклонение рыночной цены от равновесной. Из рис. 98 видно, что если рыночная цена больше равновесной цены , то количество товара , отвечающее предложению, больше количества товара , отвечающего спросу, т. е. предложение превышает спрос. Следствием этого будет оседание нереализованной продукции на складах. В свою очередь это будет побуждать производителей уменьшить цену на продукцию, т. е. рыночная цена будет стремиться к равновесной цене . Это явление известно как «давление рынка».

Предположим теперь, что рыночная цена меньше равновесной цены . Из рис. 99 видно, что в этом случае количество товара , соответствующее рыночной цене , меньше количества товара , определяемого спросом по той же рыночной цене . Это в свою очередь означает, что спрос превышает предложение. В такой ситуации производители товара, пользуясь дефицитом, повышают цену, т. е. рыночная цена вновь стремится к равновесной цене . Таким образом, установление равновесной рыночной цены данного товара в условиях конкурентного рынка формируется паутинообразной моделью.

Необходимо подчеркнуть, что рассмотренная экономико-математическая модель сильно упрощает действительность. Во-первых, она содержит предположение о линейности функций спроса и предложения. Во-вторых, спрос и предложение зависят не только от цены, но и от ряда других факторов. Некоторые из этих факторов будут рассмотрены позже с помощью функций нескольких переменных.
13.3. Максимальная прибыль
Одним из важнейших понятий в экономике и бизнесе, позволяющем оценить эффективность деятельности любого предприятия или фирмы, является прибыль. Деятельность может быть разной: производственной, финансовой, торговой, посреднической и т. д. В наиболее общем виде прибыль можно определить как разность между полным доходом (выручкой) предприятия (фирмы) от реализации продукции или услуг и полными издержками (затратами). Если обозначить прибыль через , полный доход – , а полные затраты – , можно записать

. (13.5)

Полный доход, получаемый от продажи количества товара по цене за единицу товара, задаётся простой формулой

. (13.6)

В последней формуле цена сама является функцией от количества товара . Конкретный вид этой функции даётся кривой спроса, так как цена определяется не тем, сколько хочет получить производитель, а тем, сколько готов заплатить потребитель. Возьмём для кривой спроса линейное приближение, т. е.



, (13.7)

где , , так как кривая спроса – убывающая функция. Подставляя из (13.7) в (13.6), получим функцию полного дохода



. (13.8)

Издержками называют выраженные в денежных единицах текущие затраты на производство продукции или её обращение. Последнее включает, например, торговые издержки, издержки транспортировки и др. Кроме полных издержек рассматриваются издержки на единицу продукции. Издержки, не зависящие от объёма выпускаемой продукции, называются постоянными. Они включают арендные платежи, содержание зданий и оборудования, фиксированные оклады руководящему персоналу и т. д. С другой стороны, переменные издержки пропорциональны выпуску продукции и включают стоимость материалов, электроэнергии, зарплату сдельщикам и т. д. Полные издержки, таким образом, можно представить как сумму постоянных и переменных издержек:

, (13.9)

где постоянные издержки; единичные переменные издержки; объём выпускаемой продукции (количество товара). Если рассматривать и как постоянные параметры, то мы имеем линейную относительно функцию полных издержек.

Перейдём теперь к решению задачи определения максимальной прибыли, т. е. нахождения такого объёма производства товара , при котором прибыль будет наибольшей. Для этого достаточно графики функций (13.8) и (13.9) поместить в одной и той же системе координат с учётом экономических требований , (рис. 100):


Рис. 100

Необходимо отметить, что на рис. 100 мы неявно предполагаем, что продан весь произведённый товар. Из этого же рисунка видно, что производство прибыльно, т. е. доход больше издержек, когда количество произведённого товара удовлетворяет условию



. (13.10)

Наличие точки очевидно. Если производится мало товара, производство становится убыточным. Точка же нетривиальна, так как на первый взгляд кажется, что «чем больше, тем лучше». Однако рост производства выше некоторого уровня может вести к «опережающему» росту затрат, после чего производство становится убыточным.

Для нахождения точек , и точки , в которой достигается наибольшая прибыль, выразим прибыль , полный доход и полные издержки через количество товара :

, (13.11)

где обозначено .

Поскольку параметр квадратичной функции , то ветви параболы (13.11) направлены вниз, и функция имеет максимум, который достигается в точке

. (13.12)

Точки и , определяющие границы прибыльности производства, выражаются через параметры кривой спроса и параметры , полных издержек по известной формуле корней квадратного трёхчлена, стоящего в правой части (13.11):





. (13.13)

Чем точнее определяются указанные параметры, тем точнее полученное решение.


13.4. Предельный анализ в экономике
Предельным анализом называется применение дифференциального исчисления в экономике и бизнесе. В экономике широко используются средние величины: средняя стоимость продукции, средняя производительность труда и т. д. В равной степени средние величины важны и при коммерческой деятельности: средний доход, средний объём продаж и т. д.

Но при планировании развития производства, да и любой предпринимательской деятельности, возникает такая задача: требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты, и, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. Оперируя средними величинами, ответа на такой вопрос получить нельзя. Здесь речь идёт о приростах переменных величин. В подобных задачах нужно находить предел отношения приращений рассматриваемых величин или, как говорят, предельный эффект. Следовательно, здесь применимо понятие дифференциального исчисленияпроизводной функции.

Поясним сначала понятие предельного дохода. Полный или суммарный доход определяется в первом приближении функцией (13.8):

,

где , , график которой представлен на рис. 100.



Предельный доход определяется как производная от суммарного дохода по количеству товара (единственная переменная, от которой в нашей простой модели зависит ). Таким образом, по определению предельный доход есть

. (13.14)

Приращение дифференцируемой функции, согласно формуле (3.21), приближённо равно дифференциалу этой функции:



. (13.15)

Отсюда экономический смысл предельного дохода достаточно прост: он приближённо равен изменению суммарного дохода при изменении количества реализованного товара на величину . Прилагательное «предельный» в экономике характеризует не сами величины (как суммарная или средняя величина), а эффект их изменения относительно изменения другого исследуемого фактора на одну его единицу. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчётов и дискретности экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т. д.).

Кроме понятия предельного дохода используется также понятие среднего дохода, который определяется как доход на единицу продукции:

. (13.16)

Это общее выражение показывает, что средний доход совпадает с ценой. Конкретное выражение для среднего дохода можно получить, подставляя вместо функцию спроса. В случае «монопольной» модели, т. е. такой ситуации на рынке, когда одна или несколько фирм полностью контролируют предложение определённого товара или услуги и, соответственно, цены на них, имеем



. (13.17)

Графики зависимости среднего и предельного доходов в условиях монопольного рынка приведены на рис. 101.


Рис. 101 Рис. 102

В противоположность монополии рассмотрим другой крайний случай – совершенного, конкурентного рынка. Эта модель предполагает, что имеется большое число независимых фирм, продающих однородную продукцию, и нет никаких препятствий для «вхождения в рынок». Кроме того, каждая фирма производит (продаёт) лишь небольшую долю от общего объёма продукции и не способна контролировать цены (сговор исключается). При этих условиях возможна устойчивая продажа только по преобладающей рыночной цене. Если обозначить эту постоянную цену, т. е. не зависящую от действий отдельной фирмы, через , то кривая спроса будет иметь уравнение

. (13.18)

Соответственно, суммарный доход



,

предельный доход



, (13.19)

средний доход



. (13.20)

Отсюда следует, что в модели чистого рынка предельный и средний доходы совпадают (рис. 102), а в условиях модели монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода (рис. 101).

Рассмотренный выше подход может быть применён и к другим экономическим понятиям. Например, если известна функциональная зависимость издержек (затрат) от объёма продукции в виде , то можно определить предельные издержки как

. (13.21)

Экономический смысл этой формулы таков: предельные издержки приближённо равны изменению полных издержек при изменении выпуска на одну единицу.

Рассмотрим теперь модель производственной функции, т. е. экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). В общем случае производство продукции, включая коммерческую и финансовую деятельность, зависит от многих факторов. Такая зависимость одной величины от ряда других является функцией нескольких переменных и будет рассматриваться позже. Сейчас же ограничимся случаем, когда количество продукции зависит только от приложенного труда (для фирмы это просто численность персонала). В краткосрочном плане такое допущение приемлемо, и производственная функция может быть записана так



. (13.22)

Для оценки эффективности производства часто используется средняя производительность труда , которую естественно определить в виде отношения



. (13.23)

Руководителей фирмы часто, однако, интересует вопрос, как изменится объём продукции при увеличении (уменьшении) численности персонала . Ответ можно получить, введя понятие предельной производительности труда как производную от продукции по величине приложенного труда



. (13.24)

Экономический смысл этого понятия: предельная производительность труда приближённо равна изменению объёма выпускаемой продукции при изменении численности персонала на одну единицу.

Рассмотрим пример, когда производственная функция имеет вид



.

Будем считать, что эта формула эмпирическая. Вычисляя производную, находим предельную производительность труда



.

Для примера возьмём: ;;;;. Подставляя в полученную формулу значения , легко находим соответствующие величины предельной производительности труда. Результаты вычислений представим в таблице 9.

Таблица 9



1

9

100

2500

22500



146

46

11





Из таблицы 9 видно, что предельная производительность труда уменьшается с ростом численности персонала и, начиная с некоторой численности, становится отрицательной. Это означает, что при дальнейшем увеличении персонала производство продукции будет падать! Неожиданный результат, который тем не менее часто наблюдается на практике: если для какого-то дела привлекается слишком много исполнителей, они просто начинают мешать друг другу.

  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница