3. Динамическая модель рыночного равновесия Исходные предположения




Скачать 109.3 Kb.
Дата07.05.2016
Размер109.3 Kb.

3. Динамическая модель рыночного равновесия

3.1. Исходные предположения.


В пердыдущем параграфе мы видели, что события на рынке в значительной степени определяются прогнозами, имеющимися у операторов рынка. Поэтому, переходя к рассмотрению динамической модели мы должны, вообще говоря, рассматривать два взаимосвязанных процесса:

  • изменения состояния рынка;

  • изменение представлений операторов рынка о нем.

Причем не трудно понять, что эти два процесса взаимно определяют друг друга. Реализовавшееся состояние рынка приводит к пересмотру прогнозов всеми или некоторыми операторами. С другой стороны, изменение представлений операторов о будущем вызывает изменение состояния рынка.

По нашим представлениям, описание одного из этих процессов существенно проще, чем другого. В самом деле, если задан прогноз динамики цен, то предсказать поведение инвесторов не так уж и сложно. А вот как меняются представления инвесторов о будущем - вопрос гораздо более тонкий. Хотя и не безнадежный. Определенные соображения на эту тему можно найти у Дж. Сороса1.

Отметим один принципиальный момент. Если состояние рынка может быть измерено, хотя бы в принципе, то прогнозы инвесторов непосредственному измерению не поддаются. О них судить можно только косвенно. Включение такого компонента в модель означало бы переход исследования на качественно иной уровень (быть может, аналогичный переходу от классической физики к квантовой). Поэтому мы ограничимся рассмотрением более простого случая неизменных прогнозов. При этом вполне естественно предполагать такой прогноз совпадающим с действительным развитием событий, так как иначе непонятной была бы его неизменность. Ну а раз уж прогнозы всех инвесторов совпадают с реальным развитием событий, они совпадают и между собой.

Мы ограничимся рассмотрением рынка дисконтных ценных бумаг (типа ГКО). С помощью перехода от цен к индексам (как это описано в параграфе 1) несложно перенести результаты и на случай купонных ценных бумаг с фиксированным временем обращения (типа российских облигаций федерального займа или американских бондов). Рассмотрение ценных бумаг с неограниченным временем обращения требует некоторого уточнения подхода. По-видимому, в этом случае одно из краевых условий следовало бы заменить условием ограниченности цен на бесконечности. Но этот случай мы рассматривать не будем.

Итак, будем исходить из следующих предположений.


  1. Все операторы рынка стремятся к максимизации прибыли.

  2. Комиссия за проведение операций на рынке мала настолько, что ей можно вовсе пренебречь

  3. Прогнозы всех операторов рынка о его будущих состояниях одинаковы и соответствуют реальному ходу событий.

  4. Рынок находится в равновесии так, что в любой момент все выпуски, находящиеся в обращении одинаково привлекательны для инвестора.

Предположение 1, вообще говоря, не совсем корректно, поскольку прибыль от операций с ценными бумагами зависит от сроков вложения денег в этот сектор рынка. Однако, как показано выше, при выполнении предположения 2 эта зависимость становится чисто формальной. Поэтому мы имеем право использовать предположение 1 в том виде, в каком оно сформулировано выше.

Предположение 2 заведомо не выполняется, однако, принимая его, мы существенно упрощаем решаемую задачу. Ниже мы еще вернемся к обсуждению правомерности такой идеализации.

Предположение 3, по-видимому, можно существенно ослабить. В уже цитированной книге Дж. Сорос утверждает, что весь спектр мнений инвесторов может быть заменен одним “превалирующим” мнением. Это утверждение весьма правдоподобно. Однако вполне вероятно, что оно выполняется не всегда. А поскольку мы занимаемся не “алхимией” а “химией”, оставим предположение 3 в исходном виде. Вполне очевидно, что существуют достаточно длинные отрезки времени, когда прогноз не составляет большого труда, и это предположение выполняется удовлетворительно.

Предположение 4 в конечном счете сводится к гипотезе о том, что все операторы рынка действуют разумно. В самом деле, если по какой-то причине один из выпусков окажется более привлекательным, чем другой, то разумные операторы должны тут же начать соответствующую переброску средств, в результате чего цены на эти выпуски достаточно быстро выравняются. По существу это предположение является единственно возможным “объективным” предположением о структуре цен на рынке. Действительно, мы, конечно, можем предположить, что значительная часть операторов рынка в силу своей некомпетентности или по каким-то иным причинам действуют вполне определенным, но нерациональным образом. Однако такое предположение будет носить субъективный и временный характер, так как квалификация этих операторов может и повыситься, например, после того, как они прочтут в прессе о неоптимальности их поведения.

Разумеется, предположение 4 становится осмысленным только после того, как мы приняли предположение 1, зафиксировав тем самым понятие рационального поведения. На практике эти предположения выполняются не вполне точно. Например, на рынке ГКО работает Центральный банк и уполномоченные им банки, которые не всегда преследуют цель максимизации своей прибыли. Кроме того, на сегодняшний день еще не завершен процесс приватизации, вследствие чего иногда можно наблюдать сделки, которые заведомо невыгодны одному из партнеров, если под выгодностью понимать прибыльность операций. Наличие этого “некапиталистического” (или, если угодно, “постсоциалистического”) сектора на рынке можно учесть как внешний по отношению к рынку фактор, наряду с влиянием действий эмитента и регуляторов рынка. Предполагая, что “нормальные” инвесторы занимают все-таки достаточно большую часть рынка, можно считать предположение 4 приемлемым.

Введем следующие обозначения. Пусть - цена в момент времени t бумаги, которой в этот момент времени осталось дней до погашения. Обозначим и соответствующие обычную и эффективную доходности к погашению. Таким образом,



,

.

До сих пор мы характеризовали отдельные виды бумаг специальным индексом, что соответствует обычной практике присваивать каждому виду бумаг уникальный идентификатор. Это имеет свои преимущества в учетных задачах, однако неудобно для наших целей. В самом деле, поскольку мы рассматриваем дисконтные бумаги, все инвестиционные и спекулятивные свойства бумаг определяются только количеством дней до погашения и, быть может, какими-то обстоятельствами, лежащими вне рассматриваемого сегмента рынка. Мы будем пользоваться этими “естественными” координатами, что впрочем, стало уже общепринятым в аналитических исследованиях.

В выбранных нами координатах величина обозначает, по сути, дату погашения облигации. Поэтому одному выпуску ГКО соответствует прямая , или в дифференциальной форме

. (5.13)

Из результатов, изложенных выше, следует, что привлекательность того или иного выпуска для инвестиций определяется величиной логарифмической производной цен на бумаги этого выпуска.

Положим . Производная этой величины в силу уравнения (5.13) равна

.

Тогда предположения 1-4 могут быть объединены в дифференциальном уравнении



(5.14)

Функция f(t) определяется состоянием смежных секторов финансового рынка, действиями эмитента, регуляторов рынка и “некапиталистических” агентов рынка. В конечном итоге эта функция может быть определена только с привлечением какой-то информации о производственной сфере. В нашей модели будем считать ее заданным экзогенным фактором.

Вернемся к обсуждению предположения о том, что комиссионные равны нулю. Если отказаться от этого предположения, то уравнение (5.14) следовало бы заменить двойным неравенством

,

где величина характеризует величину комиссионных. Если решение уравнения (5.14) представляет собой поверхность в трехмерном пространстве, то решения этого неравенства заполняют некоторую трубку в том же пространстве. Из экономического смысла задачи ясно, что решение уравнения (5.14) будет сечением, проходящим “посредине” этой трубки. Если комиссионные невелики, то трубка будет достаточно узкой, и о ее поведении можно будет достаточно точно судить по поведению ее среднего сечения. Это дает нам основание принять предположение 2.

Исследование подобных неравенств представляет значительный самостоятельный интерес, однако здесь вряд ли уместно развивать соответствующую технику. Поэтому мы ограничимся решением уравнения (5.14).

При постановке задачи мы еще в одном погрешили против истины. Конечно же, и “физическое” время t и тем более время обращения бумаг принимают дискретные значения, а мы считаем эти величины непрерывными. Сделано это только потому, что в непрерывных переменных необходимые нам формулы выглядят более компактно. Переписать их в дискретных переменных не представляет большого труда, и мы можем со всей ответственностью утверждать, что все качественные выводы, полученные нами ниже, остаются справедливыми и в дискретном варианте модели. Поскольку нас интересуют только эти качественные выводы, мы сочли такую экономию уместной. Кроме того, математическое образование в настоящее время сводится главным образом к анализу бесконечно малых, поэтому для многих читателей непрерывный вариант модели будет более привычен, а потому и более понятен.


3.2. Решение задачи


Сделаем замену переменных

,

.

Отсюда


,

,

и

,



.

Следовательно, имеем



.

Интегрируя, получим



,

где - произвольная функция. Обозначим



.

Тогда


,

или, возвращаясь к старым переменным,



.

В момент погашения цена p(t,0)=11, следовательно, q(t,0)=0, что позволяет найти функцию .



.

Таким образом



.

Отсюда получим



,

где использовано обозначение



.

3.3. Интерпретация модели


Чтобы уяснить экономический смысл функции f(t) нужно выразить ее значения через какие-то экономические характеристики рынка. Проще всего это сделать с помощью ценового индекса.

Для его определения воспользуемся дискретными переменными. Пусть пока t означает номер торговой сессии, i - номер выпуска бумаг, - цену бумаг i-го выпуска во время торговой сессии t, - количество облигаций i-го выпуска в начале торговой сессии t, выраженное в рублях по номинальной стоимости. Значение ценового индекса в день t относительно дня 0 по определению выражается формулой



,

где суммирование ведется по всем выпускам, находящимся в день k в обращении. Ценовой индекс характеризует средний рост цен на рынке и является одной из наиболее важных характеристик состояния рынка. Преобразуем это выражение.



.

При равновесной динамике рынка выражение в квадратных скобках не зависит от i, поэтому его можно вынести за знак суммы. После очевидного сокращения получим



.

Отсюда получим



.

Прологарифмируем это равенство



.

Чтобы перейти к непрерывным переменным, следует разделить это равенство на временной интервал dt между торговыми сессиями t и t+1 и перейти к пределу при dt, стремящемся к нулю. В принятых нами переменных полученное равенство запишется в виде



.

Отсюда следует, что фигурирующая в нашей модели функция f(t) является логарифмической производной ценового индекса и характеризует относительную скорость роста средних цен на рынке.

Для тех, кто не привык работать с индексами, выразим функцию f(t) через среднюю эффективную доходность на рынке. Из формулы, определяющей эффективную доходность, имеем

(здесь для простоты доходность выражена не в процентах, а в долях единицы). В соответствии с этой формулой цену можно рассматривать как дисконтированную номинальную стоимость соответствующих ценных бумаг, при этом коэффициент дисконтирования равен эффективной доходности. Развивая эту идеологию, можно сказать, что средняя эффективная доходность обращающихся ценных бумаг - это такой коэффициент дисконтирования, при котором текущая стоимость портфеля равна дисконтированной номинальной стоимости этого портфеля. Пусть в момент времени t в обращении находится столько ценных бумаг со сроком обращения , что их номинальная стоимость равна . Для удобства будем считать, что функция V определена при всех значениях и равна нулю при отрицательных значениях а также при значениях , превосходящих некоторое достаточно большое положительное значение. Тогда текущая стоимость портфеля будет равна



(этот и все следующие интегралы следует понимать, как определенные интегралы, распространенные на все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности).

Средняя эффективная доходность y(t) определится тогда из равенства

.

Продифференцируем это равенство в силу уравнения (5.13)











.

Выполним следующие преобразования этой формулы

1.







.

2. Второе слагаемое из левой части перенесем вправо и сгруппируем с последним слагаемым правой части.

3. Интеграл в первом слагаемом правой части заменим его значением PV(t).

4. Разделим равенство на PV(t).

Получим





.

Первое слагаемое в правой части полученной формулы отвечает за “естественный” рост цен при сложившейся на рынке доходности y(t).

Второе слагаемое учитывает влияние на рост цен изменения средней доходности. Естественно, если доходность растет, то рост цен замедляется, и наоборот, когда доходность падает, то темпы роста цен увеличиваются. Из формулы видно, что влияние скорости изменения тем сильнее, чем меньше текущее значение доходности. Выражение, заключенное в этом слагаемом в квадратные скобки, есть ни что иное, как средний срок обращения (дюрация) портфеля ценных бумаг. Из формулы видно, что чем выше дюрация, тем сильнее изменения доходности влияют на темпы роста цен.

Обратимся к последнему слагаемому. Выражение заключенное в нем в квадратные скобки равняется номинальной стоимости доразмещенных в момент времени t бумаг со сроком обращения . Выражение заключенное в фигурные скобки есть разница между фактической ценой бумаг со сроком обращения и ценой, соответствующей средней эффективной доходности. Таким образом, это слагаемое компенсирует те изменения доходности, которые происходят не из-за изменения цен, а за счет доразмещения и/или погашения бумаг по ценам, отличным от цен, определяемых средней доходностью. Разумеется, если доразмещение происходит по ценам выше средних, то той же динамике доходности соответствуют меньшие темпы роста цен и наоборот.

Сравнивая два полученных нами выражения для функции f(t) можно получить связь между динамикой ценового индекса и динамикой средней эффективной доходности рынка. Разумеется, эта связь получена в предположении равновесности рынка. Тем не менее, это соотношение имеет определенный самостоятельный интерес.

Преобразования, аналогичные проведенным выше, можно провести и со средней доходностью, вычисленной по методике простых процентов. Правда, на наш взгляд результаты этих преобразований представляют меньший интерес.



Мы уже отмечали, что среднюю доходность рынка ценных бумаг можно определить многими способами. В данном случае такое определение выбрано не случайно. По существу мы имеем две агрегированных характеристики рынка: среднюю доходность и (не имеющую специального названия) функцию f(t). Вообще говоря, одна из них не обязана выражаться через другую. Легко проверить, что для многих других определений средней доходности такое выражение действительно невозможно. Это обстоятельство и выделяет выбранное определение средней доходности среди прочих.


1 Дж. Сорос. Алхимия финансов.

1 Мы предполагаем для простоты , что цены бумаг заданы в долях номинала, а погашение, естественно, производится по номинальной цене.

6.5.2016


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница