1. Имитационное моделирование, основные понятия и примеры применения




Скачать 295.48 Kb.
Дата05.05.2016
Размер295.48 Kb.
1. Имитационное моделирование, основные понятия и примеры применения.

Машинная имитация – метод экспериментального изучения соц.-эконом. систем с помощью ЭВМ. МИ применяется тогда, когда реальный эконом. эксперимент не возможен, и тогда имитация выступает в его замены либо в качестве предварительного этапа, позволяющего принять более обоснованное решение о проведении эксперимента. При МИ формируется имитационная с-ма, в к-рую входят имитационная модель, имитирующая исследуемый процесс, и набор алгоритмов и программ, предназначенных как для обеспечения диалога человека и ЭВМ (внутреннее матем. обеспечение), так и для решения задач типа ввода и вывода информации, формирования БД (внешнее матем. обеспечение). Практическое применение этой модели заключается в наблюдении за результатами весьма многовариантных расчетов по такой программе при различных задаваемых значениях вводимых экзогенных переменных. Могут быть достигнуты цели экономико-матем. моделирования в тех случаях, когда аналитическое решение невозможно.


2. Назначение и область применения сетевых моделей. Основные элементы сетевой модели.

Сетевой моделью (сетевой график, сеть) наз-ся экономико-матем. модель, отражающая комплекс работ (операций) и событий, связанных с реализацией некоторого проекта, в их логической и технологической последовательности и связи. Анализ сетевой модели, представленной в графической или табличной форме позволяет: 1.более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта 2.определить наиболее оптимальный порядок выполнения этих этапов в целях, н-р, сокращения сроков выполнения всего комплекса работ. Матем. аппарат сетевых моделей базируется на теории графов. Графом наз-ся совокупность 2-х конечных множеств: множества точек, к-рые наз-ся вершинами, и множество пар вершин, к-рые наз-ся ребрами. Если рассматриваемые пары вершин яв-ся упорядоченными, т.е. на каждом ребре задается направление, то граф наз-ся ориентированным; в противном случае – неориентированным. Последовательность неповторяющихся ребер, ведущая от некоторой вершины к др., образует путь. Граф наз-ся связанным, если для любых 2-х его вершин сущ. путь, их соединяющий; в противном случае граф несвязанный. В экономике используют 2 вида графов: дерево и сеть. Дерево – связанный граф без циклов, имеющий исходную вершину (корень) и крайние вершины; пути от исходной вершины к крайним наз-ся ветвями. Сеть – ориентированный конечный связный граф, имеющий начальную вершину (источник) и конечную (сток). Таким образом, сетевая модель представляет собой граф вида сеть.


3. Основные понятия теории игр, игры с природой.

Теория игр – матем. теория конфликтных ситуаций. В игре могут сталкиваться интересы 2-х (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников; сущ. игры с бесконечным множеством игроков. На промышленных предприятиях теория игр может применяться для выбора оптимальных решений, н-р, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют 2 тенденции: увеличение запасов, гарантирующих бесперебойную работу произ-ва, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. 1. Определенность в формулировании их условий (правил игры); 2. Установления кол-ва игроков; 3. Выявления возможных стратегий игроков; 4. Возможных выигрышей (проигрыш понимается как отрицательный выигрыш). Одним из основных видом игр яв-ся матричные игры, к-рыми наз-ся парные игры с нулевой суммой (один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой) при условии, что каждый игрок имеет конечное число стратегий. Парная игра задается матрицей А=аij – к-рая наз-ся матрица игры или платежная матрица. Отличительная особенность игр с природой состоит в том, что в ней рассматривается неопределенная ситуация – никто никому сознательно не противодействует. Пример: кризис.


4. Производственные функции: понятие, общая классификация и формальные свойства.

ПФ – наз-ся зависимость м/у объемами затрачиваемых в произ-ве ресурсов (независимые переменные х1, х2,…хn, число к-рых n = числу ресурсов) и объемом выпускаемой продукции Y. Основными производственными ресурсами яв-ся труд L и капитал K. Способы произ-ва (производственные технологии) определяют, какой объем продукции выпускается при заданном кол-ве труда и капитала. Математически существующие технологии выражаются через производственную функцию. Если обозначить объем выпускаемой продукции через Y, то производственную функцию можно записать Y=f(K,L). Это выражение обозначает, что объем выпуска продукции яв-ся функцией кол-ва капитала и кол-ва труда. ПФ позволяют: 1.проводить разнообразные аналитические расчеты. 2.определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их доп. вовлечения в сферу произ-ва. 3.прогнозировать выпуск произ-ва при тех или иных вариантах развития объекта (т.е. при различном кол-ве ресурсов). Особенности оценки параметров ПФ: 1.большинство ПФ не яв-ся линейными относительно параметров и не сводятся к линейным путем аналитических преобразований. 2.в качестве критерия оценки параметров используются функции достаточно сложного вида. 3.как ПФ, так и критерий оценки параметров может быть не дифференцируемыми.


5. Основные понятия о системах массового обслуживания (СМО), примеры их применения.

СМО – с-мы, в к-рых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой – происходит удовлетворение этих запросов. СМО включает в себя следующие элементы: 1.Источник требований; 2.Входящий поток требований; 3.Очередь; 4.Обслуживающие устройства (каналы обслуживания); 5.Выходящий поток требований. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания. Методами теории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Н-р: 1.Определить в организации торговли оптимальное кол-во торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров. 2.Для складов или баз снабженческо-сбытовых организаций установить оптимальное соотношение м/у числом, поступающих на базу требований на обслуживание, и числом, обслуживающих устройств, при к-ром суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя транспорта были бы минимальными.



6. наиболее часто используемые кривые роста, применение Мастера диаграмм Excel для построения трендовых моделей. Оценка их точности.

Выделяют 3 класса кривых роста: 1.полиномиальные модели y = a + a * t; y = a + a * t + a * t²; y = a + a * t + a * t² + a * t³ + … Единственной независимой переменной во всех моделях кривых роста яв-ся фактор времени t. 2.экспоненциальные кривые роста

– простая экспонента;

– модифицированная экспонента. 3.S-образные кривые роста. Графики этих функций напоминают S. Так ведут себя показатели, обладающие способностью достигать насыщения.


8. Прогнозирование на основе линейной трендовой модели, точечный и интервальный прогнозы.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения, и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность. На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы. Точечный прогноз на основе временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t=n+1,n+2,…,n+k. Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом наз-ся такой интервал, относительно к-рого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности. При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина , к-рая для линейной модели имеет вид

Где ,– стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от модели); m – кол-во факторов в модели, для линейной модели m=1. Коэффициентяв-ся табличным значением t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равной 70%, то при n=9= 1,12. При вероятности, равной 95%, = 2,36. Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: Верхняя граница прогноза =

Нижняя граница прогноза =



9. Оценка качества моделей прогнозирования. Проверка адекватности и оценка точности моделей кривых роста.

Важным этапом прогнозирования соц.-эконом. процессов яв-ся проверка адекватности модели реальному явлению. Для этого исследуют ряд остатков , т.е. отклонение расчетных значений от фактических. 1.Проверка равенства 0 матем. ожидания уровней ряда остатков осущ. в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы. с этой целью строится t-статистика: где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков.,среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле малой выборки. На уровне значимости гипотеза отклоняется, если , где – критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1-α) и степенями свободы v=n-1. 2.Проверка условий случайности возникновения отдельных отклонений от тренда. Используется критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить так: где р – фактическое кол-во поворотных точек, 1,96 – квантиль нормального распределения для 5% уровня значимости. Если неравенство выполняется, то ряд остатков нельзя считать случайным, т.е. модель не яв-ся адекватной. 3.Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проверяют с помощью критерия Дарбина – Уотсона. С этой целью строится статистика, в основе к-рой лежит формула



при отсутствии автокорреляции d=2, а при полной равно 0 или 4.



4.Соответствие ряда нормальному закону распределения можно проверить с помощью RS-критерия: , S – среднеквадратичное отклонение ряда остатков Если расчетное значение RS попадает м/у табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки их точности. Точность моделей характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (эконом. показателя). Для показателя, представленного временным рядом, точность определяется как разность м/у значением фактического уровня временного ряда и его оценкой полученной расчетным методом с использованием модели. В качестве стат. показателя можно применять среднюю относительную ошибку аппроксимации. где n – кол-во уровней ряда, - оценка уровней ряда по модели, - среднее арифметическое значение уровней ряда. Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой. На основании этого можно сделать выбор из нескольких адекватных трендовых моделей эконом. динамики наиболее точной.

10. Построение моделей тренда. Оценка параметров кривых роста с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Плавную кривую (гладкую функцию), аппроксимирующую временной ряд, принято называть кривой роста. Чаще всего используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Примеры кривых роста: Полином первой степени (прямая) . Полином второй степени (парабола) . Параметры «кривых роста» оцениваются методом наименьших квадратов (МНК), т.е. подбираются таким образом, чтобы график функции «кривых роста» располагался на минимальном удалении от точек исходных данных. Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию. К числу таких моделей относится линейная модель роста ,где и – параметры модели, а Матем. критерий оценки параметров модели записывается в виде Для нахождения минимума функции 2-х переменных следует взять частные производные по и , а затем приравнять их нулю В результате получим так называемую с-му нормальных уравнений



Решая с-му 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными, получим Где и - средние значения моментов наблюдения и уровней ряда соответственно.


12. Предварительный анализ временных рядов: выявление и устранение аномальных наблюдений.

Совокупность значений некоторого количественного признака Y(t), упорядоченная в хронологической последовательности, т.е. по возрастанию переменной t, называемой временным параметром, наз-ся временным рядом. Моделирование и прогнозирование эконом. показателей на основе временных рядов начинается с предварительного анализа ряда, к-рый включает следующие этапы: выявление и устранение аномальных наблюдений; определение наличия тренда; сглаживание ряда. Аномальность наблюдения яв-ся серьезной проблемой и нелегко поддается выявлению и устранению. Аномальным уровнем наз-ся отдельное значение уровня временного ряда, к-рое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой эконом. с-мы и оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда. Обычно аномальные значения можно обнаружить визуально при помощи графика ряда, но прежде чем устранить обнаруженные таким образом значения их нужно подвергнуть дальнейшему количественному и качественному анализу. Рассмотрим метод Ирвина, основанный на сравнении средних значений ряда. Рассчитывается характеристика, где . Полученные значения сравниваются с табличными и, если оказываются больше табличных, то признаются аномальными. Аномальные значения устраняются либо заменой их простой средней арифметической 2-х соседних уровней, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд.
13. Методы механического сглаживания временных рядов.

Сглаживание – подравнивание уровней с целью удаления мелких незначительных колебаний показателя. Суть методов механического сглаживания. Берется несколько первых членов ряда, образующих так называемый интервал сглаживания. Для них подбирается кривая, аналитическим выражением к-рой служит полином. С помощью этого полинома определяется новое выровненное значение члена, находящегося в середине интервала сглаживания. Далее выбранный интервал сдвигается на один уровень вправо, выполняется следующее выравнивание и т.д. выделят 3 вида механического сглаживания: метод простой скользящей средней; метод взвешенной скользящей средней; метод экспоненциального сглаживания. Метод простой скользящей средней наиболее прост и используется чаще других. Для сглаживания нужно провести следующие действия: 1.определить число уровней, входящих в интервал сглаживания; 2.вычислить среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания, к-рое одновременно яв-ся сглаженным значением уровня, находящегося в центре интервала сглаживания. Сглаженное значение рассчитывают по формуле (1) , где m – число уровней в интервале сглаживания; t – текущее наблюдение временного ряда; i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания; p – при нечетном m . 3.сдвинуть интервал сглаживания на один уровень вправо, затем вычислить по формуле (1) сглаженное значение для (t+1)-го члена, снова произвести сдвиг и т.д. В результате получиться n-(m-1) новых сглаженных уровней. Первые и последние р членов сгладить нельзя, их значения теряются.



14. Построение адаптивной линейной модели Брауна временного ряда и прогнозирование с ее помощью.

Адаптивная модель Брауна предназначена для моделирования случайных процессов, а также для линейных и параболических тенденций. Во всех моделях Брауна независимой переменной яв-ся шаг прогноза k. Виды моделей Брауна: 1.для случайных процессов: y = a ; 2.для линейных процессов: y = a + b *k; 3.для параболических тенденций: y = a + b k + c k. В адаптивных моделях показатель y опосредованно через меняющиеся во времени параметры зависит от времени. Рассмотрим линейную адаптивную модель Брауна вида: y = a + b *k. (1). Основные этапы работы с моделью (1). 1.оценка начальных параметров модели a0, b0 (t=0). Применяют МНК для первой половины уровней временного ряда

2.корректировка параметров модели от уровня к уровню. Используют формулы: • y = a + b *k, величиной k до этапа прогноза можно пренебрегать (k = 1). • Et = y - y • a = y + (1 - β²) * Et • b = b + (1 – β) ² * Et. β – коэф., к-рый определяется на основе заданного параметра сглаживания α в задаче из условия: α + β = 1. окончательный вид модели получается на основе параметров полученных на последнем шаге: y = a + b *k. Эта модель впоследствии используется на этапе прогноза. 3.оценка качества модели. Проверяют адекватность и точность модели. Оценка адекватности: св-во случайности в уровне ряда остатков (пики); св-во независимости в уровне остатков или отсутствие автокорреляции (d-критерий); уровень остатков должен быть распределен по нормальному закону (RS – критерий); матем. ожидание остатков должно быть = 0 (если ∑Et близка к 0, то и среднее значение остатков (матем. ожидание) будет маленьким). Оценка уровня точности модели: используют среднюю относительную ошибку. 4.прогнозирование. Точечный прогноз осущ. по модели y (k) = a +b * k. Для построения доверительного интервала прогноза вначале рассчитывают ошибку прогноза:
15. Нелинейные трендовые модели; определение параметров некоторых кривых роста путем линеаризации.

Для построения нелинейных кривых роста проводят их предварительную линеаризацию. Н-р, для линеаризации модели вида y = a + a * t + a * t² достаточно ввести замену T = t². Получим линейную модель y = a + a * t + a * T. Для линеаризации экспоненциальной модели вида y = a * b используют логарифмирование обеих сторон уравнения. lg y = tg (a * b ); lg y = lg a + lg b ; lg y = lg a + t * lg b; Y = A + B * t.


16. Статистические показатели динамики экономических процессов, простейшие приемы планирования от достигнутого уровня.
17. Требования, предъявляемые к исходной информации при моделировании экономических процессов на основе временных рядов.

Сопоставимость достигается в результате одинакового подхода к наблюдениям на разных этапах формирования динамического ряда. Уровни во временных рядах должны иметь одинаковые: единицы измерения, шаг наблюдений, интервал времени, методику расчета, элементы. Однородность данных означает отсутствие сильных изломов тенденций, а также аномальных наблюдений. Устойчивость характеризуется преобладанием закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. Требование полноты данных обуславливается тем, что закономерность может обнаруживаться лишь при наличии минимально допустимого объема наблюдений.


19. Задача дискретного программирования, пример. Типы дискретности, дискретная оптимизация средствами Excel.

Наряду с общей ЗЛП рассматривают спец. виды оптимизационных задач. К ним относят задачи дискретного программирования. Различают 3 типа дискретных задач: 1.задачи с целочисленными переменными; 2.с двоичными переменными; 3.задачи, в к-рых переменные могут принимать значения из определенного промежутка. 1. – это задачи о произ-ве неделимой продукции (одежда, обувь, мебель, детали). В ЭММ такой задачи добавляется условие Xj – целые. 2. – в этих задачах переменные могут принимать только 2 значения 0 или 1. В ЭММ вводят ограничение Xj – двоичное.


20. Классическая задача оптимизации, метод получения решения (метод множителей Лагранжа).

Задача нелинейного программирования формулируется так же, как и общая задача оптимального программирования, т.е. в виде max (min) f(x1, x2,…,xn), g (x1, x2,…, xn) ≤,=,≥ b , i=1,m, x ≥ 0, j=1,n, со следующими требованиями к ЦФ и допустимой области: ЦФ f(X) = f (x1, x2,…, xn) или (и) хотя бы одна из функций g (x1, x2,…, xn), i=1,m яв-ся нелинейными. Особое место занмают задачи типа max (min) Z = f (x1, x2,…, xn) (1), g (x1, x2,…, xn) = 0, i=1,m (2), для решения к-рых можно воспользоваться классическим методом оптимизации Лагранжа, или методом разрешающих множителей. При этом предполагают, что функции f и g (i=1,m) непрерывны вместе со своими первыми частными производными. В основе метода Лагранжа решения классической задачи оптимизации (1), (2) лежит утверждение, что если Z = f (x1, x2,…, xn) в точке X = (x1, x2,…, xn) имеет экстремум, то сущ. такой вектор (λ1, λ2,…, λm), что точка (x1, x2,…, xn, λ1, λ2,…, λm) яв-ся решением с-мы.


21. ЭММ нелинейной оптимизации. Трудности, порождаемые нелинейностью. Нелинейная оптимизация средствами Excel.

22. Задача о назначениях, постановка и эк-математическая модель.

Общая постановка задачи о назначениях состоит в распределении m рабочих на выполнение n однотипных операций, при этом каждый рабочий может выполнять только 1 операцию и каждая операция может выполняться только 1 рабочим. Задача о назначении имеет место при распределении людей на должности или работы, автомашины на маршруты, водителей на машины. Задача о назначениях будет закрытой, если m = n. ЭММ: – факт назначение или не назначение ресурса на работу . Ограничения: , j=1….m



Если m ≠ n, то задача открытая. m > n (m < n) – не все рабочие (не все операции) будут заняты (выполнены). Переменные задачи о назначении – двоичные:
23. Постановка и экономико-математическая модель открытой транспортной задачи. Получение решения средствами Excel.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок из m пунктов отправлений в n пунктов назначений m → n. В качестве критериев оптимальности рассматривают min общее время затраченное на перевозки или min их общую стоимость. Введем обозначения: A1, A2,…, Am – поставщики груза; a1, a2,…, am – запасы груза у поставщиков; B1, B2,…, Bn – потребители груза; b1, b2,…, bn – потребности в грузе потребителей; Cij – стоимость перевозки единицы груза из пункта Ai в пункт Bj Ai → Bj. В задаче требуется определить план перевозок, к-рый определяется матрицей ***, где каждый элемент Xij показывает сколько груза выгодно перевезти Ai → Bj. Исходные данные транспортной задачи обычно представляются в виде транспортной табл.****. Различают закрытые и открытые транспортные задачи. Задача наз-ся открытой, если суммарные запасы груза у поставщиков ≠ суммарным потребностям в грузе потребителей. ∑ a ≠ ∑ b . ЭММ задачи: 1.F = ∑ ∑ c x → min; 2. а) ∑ a > ∑ b , тогда ∑ x ≤ a , i = 1,m – не все запасы груза будут вывезены; б) ∑ a < ∑ b , тогда ∑ x ≤ b , j = 1,n – не все потребности в грузе будут удовлетворены; 3. Xij ≥ 0, i = 1,m; j = 1,n. Любая матрица Xij будет допустимым решением транспортной задачи, если на ее элементах выполняются все условия систем 2,3.


24. Постановка и экономико-математическая модель закрытой транспортной задачи. Получение решения средствами Excel.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок из m пунктов отправлений в n пунктов назначений m → n. В качестве критериев оптимальности рассматривают min общее время затраченное на перевозки или min их общую стоимость. Введем обозначения: A1, A2,…, Am – поставщики груза; a1, a2,…, am – запасы груза у поставщиков; B1, B2,…, Bn – потребители груза; b1, b2,…, bn – потребности в грузе потребителей; Cij – стоимость перевозки единицы груза из пункта Ai в пункт Bj Ai → Bj. В задаче требуется определить план перевозок, к-рый определяется матрицей ***, где каждый элемент Xij показывает сколько груза выгодно перевезти Ai → Bj. Исходные данные транспортной задачи обычно представляются в виде транспортной табл.****. Различают закрытые и открытые транспортные задачи. Задача наз-ся закрытой, если суммарные запасы груза у поставщиков = суммарным потребностям в грузе потребителей. ∑ a = ∑ b. ЭММ задачи: 1.F = ∑ ∑ c x → min; 2. ∑ x = a , i = 1,m – все запасы груза поставщиков вывезены; 3. ∑ x = b , j = 1,n – все потребности потребителей выполнены; 4. Xij ≥ 0, i = 1,m; j = 1,n. Любая матрица Xij будет допустимым решением транспортной задачи, если на ее элементах выполняются все условия систем 2,3,4.


25. Свойства двойственных оценок (ДО) и их использование для анализа оптимальных решений.

1. ДО как инструмент определения баланса м/у прибылью от произ-ва и затратами на него Fmax = Zmin. 2. ДО как инструмент определения дефицитных и недефицитных ресурсов. 3. ДО как характеристика ценности каждой доп. единицы ресурса. 4. ДО как инструмент для определения целесообразности включения в план произ-ва новых видов изделий. Предположим xj – новый вид продукции. Для определения целесообразности его произ-ва рассчитывают величину

cj – стоимость единицы продукции; ∑ - затраты ресурсов на единицу продукции. Если < 0, то стоимость превышает затраты, произ-во выгодно и наоборот.

26. Двойственные оценки в ЗЛП, интервалы устойчивости двойственных оценок, определение средствами Excel.

С каждой ЗЛП тесно связана др. линейная задача, называемая двойственной; первоначальная задача наз-ся исходной или прямой. Связь исходной и двойственной задачи заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения др. Переменные двойственной задачи наз-ся двойственными оценками. Модель двойственной задачи имеет вид: g()= Теорема об оценках: значения переменных в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов b с-мы ограничений – неравенств прямой задачи на величину



Экономико-матем. анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок (для определения этих границ сущ. матем. соотношения, к-рые реализованы в «Отчете по устойчивости» Excel. (теневые цены, интервалы устойчивости, допустимое увеличение, допустимое уменьшение). Интервалы изменения объемов ресурсов ( компонент вектора В) в пределах к-рых двойственные оценки сохраняют свои значения принято называть интервалами устойчивости двойственных оценок. Если двойственные оценки попадают в интервал устойчивости, то эконом. поведение не меняется. Если выходят за пределы интервалов устойчивости, то новое эконом. поведение получим в новом решении задачи. 1. те ограничения, к-рые выполнялись как равенства, так и будут выполняться как равенства; 2.структура плана останется неизменной. Совмещая 1 и 2 формируем новое поведение объемов ресурсов. Двойственные оценки связаны с оптимальным планом простой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи может оказать влияние, как на ее оптимальный план (), так и на с-му оптимальных двойственных оценок. Поэтому чтобы проводить эконом. анализ с использованием двойственных оценок, нужно знать их интервал устойчивости.
27. Двойственные задачи в ЛП. Правило построения двойственной задачи. Теоремы двойственности

Правило построения двойственной задачи, матем. запись. 1. Если исходная задача сформулирована на max, то двойственная должна быть сформулирована на min, и наоборот. 2. Матрица А, составленная из коэф. неизвестных в с-ме ограничений двойственной задачи яв-ся транспонированной матрице А исходной задачи. 3. Число переменных в двойственной задаче = числу функциональных переменных исходной задачи, а число ограничений этой задачи = числу переменных в исходной задаче. 4. Коэф. неизвестных в ЦФ двойственной задачи яв-ся свободными членами в с-ме ограничений исходной задачи. А правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэф. при неизвестных в ЦФ исходной задачи. 5. Если в исходной задаче, сформулированной на max, все функциональные ограничения будут иметь знак ≤, то в двойственной задаче все неизвестные ≥ 0. Если в исходной задаче, сформулированной на max, присутствуют уравнения или ограничения типа ≥, то соответствующие двойственные оценки будут ≤ 0. Матем. запись:




Теоремы двойственности и их использование для анализа оптимальных решений. Теорема 1 (основная теорема двойственности). Если одна из двойственных задач разрешима, то разрешима и др. Причем экстремальное значение ЦФ задач равны max f(x)=Z(x)=min. Если одна из двойственных задач неразрешима, то неразрешима и др. Теорема 2 (о дополняющей не жесткости). Если при подстановке компонент оптимального плана в с-му ограничений исходной задачи i-тое ограничение обращается в неравенство, то i-тая компонента оптимального плана двойственной задачи равна 0. Если i-тая компонента оптимального плана двойственной задачи положительна, то i-тое ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое неравенство. Xi* (∑AijYi*- Ci) = 0

Yi* (∑AijXj*- Bi) = 0.
28. структура «Отчета по устойчивости» при линейной оптимизации в Excele с помощью надстройки «Поиск решения». Анализ оптимальных решений использованием «Отчета по устойчивости».

Отчет состоит из 2-х таблиц. 1 табл.: 1.оптимальный план исходной задачи (оптимальный план произ-ва продукции; 2.нормированная стоимость показывает как уменьшится прибыль при принудительном выпуске нерентабельной продукции; 3.целевой коэф. (стоимость, прибыль); 4.допустимые изменения прибыли (стоимости) единицы продукции (4 и 5 столбцы). 2 табл.: 1.фактические затраты ресурсов на произ-во; 2.теневая цена – оптимальное решение двойственной задачи, ДО, цена за единицу ресурса; 3.запасы ресурсов; 4.интервалы устойчивости двойственных оценок (4 и 5 столбцы).



29. Основы симплекс-метода: общая схема алгоритма метода. Линейная оптимизация средствами Excel.

Альтернативой графическому методу решения ЗЛП яв-ся алгебраический метод или симплекс-метод. Он состоит в последовательности преобразований Гаусса, примененных к с-ме ограничений задачи. Основы метода были заложены в 1939г Л.В. Канторовичем. Систематизировал в 1949г нем. Дж. Данциг. При решении задачи графически оптимизационный план находится в 1 из вершин ОДР. Для перехода к алгебраическому методу нужно дать алгебраическое описание этих вершин. При решении задачи графически ОДР находят в результате пересечения соответствующих полуплоскостей. При использовании симплекс-метода надо алгебраическим способом решать с-му из m линейных уравнений с n переменными. В эконом. задачах, как правило, m < n/ тогда n-m переменных полагают равными 0. если оставшаяся с-ма из n уравнений с m переменными имеет единственное решение, то оно и будет соответствовать вершине многоугольной области. n – m = x = 0 – не основные, не базисные; x > 0 – m – основные, базисные. Выделяют 3 вида решений ЗЛП симплексным методом: 1. базисные – решения, у к-рых все не основные элементы = 0. 2.допустимые – решения, к-рые не содержат отрицательных компонент. 3.в симплексном методе особый интерес представляют допустимые базисные решения. Их называют опорными планами задачи. Теорема: в любой вершине многоугольника решений соответствует допустимое базисное решение с-мы ограничений. Следствие: при решении задачи симплексным методом оптимальное решение следует искать среди конечного числа допустимых базисных решений (ДБР) с-мы ограничений. Основные этапы симплекс-метода. 1.Определяют какой-либо первоначальный опорный план задачи. 2.Это решение улучшают с помощью преобразований Гаусса, получают новые ДБР. 3.На каждом этапе проверяют критерий оптимальности вновь полученного решения. В результате за конечное число шагов либо получают оптимальный план либо убеждаются в противоречивости задачи. На практике для решения задач симплекс-метода используют надстройку процессора Excel «Поиск решений».


30. Временной ряд, тренд, трендовая модель. Получение трендовой модели средствами Excel.

Временной ряд – набор чисел, призванный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, наз-ся уровнями временного ряда, или элементами. Интервал м/у 2-мя последовательными моментами времени называют тактом (шагом, квантом). Под длиной временного ряда понимают кол-во входящих в него уровней n. Временной ряд обычно обозначаютили , где t=1,2,…, n. Тренд или тенденция F(t), представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. В качестве примера таких факторов в экономике можно назвать: изменение демографических характеристик популяций; технологическое и эконом. развитие; рост потребления. Обычно тренд описывается с помощью той или иной неслучайной функции , аргументом к-рой яв-ся время, как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или просто трендом. Экономико-матем. динамическая модель, в к-рой развитие моделируемой эконом. с-мы отражается через тренд ее основных показателей, наз-ся трендовой моделью. Один из способов проверки и обнаружения тренда основан на сравнении средних уровней ряда: если временной ряд имеет тенденцию к тренду то средние вычисленные для каждой совокупности должны существенно различаться между собой. Excel с помощью F-теста.


31. Экономическая интерпретация ЗЛП: задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов, двойственная задача и ее экономическое содержание

На некоторый временной период, н-р месяц, осущ. формирование производственной программы выпуска 2-х изделий Р1 и Р2. Для их произ-ва используется 2 основных вида ресурсов S1 и S2. Эконом. оценки ожидаемых месячных объемов этих ресурсов составляют В1 и В2. На предприятии имеются утвержденные нормы расходов производственных ресурсов Аij, i =1,2; j= 1,2. Имеется возможность сбыта любых объемов производственной продукции по приемлемым продажным ценам С1 и С2. Нужно выбрать такой вариант месячной производственной программы, к-рый позволяет максимизировать выручку от продаж. Двойственная задача: Пусть некоторая организация решила закупить все ресурсы предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы, исходя из след объективных условий: покупающая организация старается минимизировать общую стоимость ресурсов; за каждый вид ресурсов надо уплатить не менее той суммы, к-рую хозяйство может выручить при переработке сырья в готовую продукцию.


32. Каноническая форма записи ЗЛП. Способы приведения ЗЛП к каноническому виду

ЗЛП наз-ся заданной в каноническом виде, если с-ма ограничений ее яв-ся с-мой уравнений с неотрицательными правыми частями. Любое неравенство можно привести к уравнению путем введения в него любой дополнительной неотрицательной переменной.



xj>=0; j=1.

Выбор конкретной вычислительной процедуры осущ. после приведения исходной задачи к каноническому виду ЗЛП. Под канонической формой ЗЛП понимают задачу, сформулированную на максимум, все ограничения к-рой представлены уравнениями и все переменные не отрицательные. Для приведения задачи к КЗЛП в ограничения представленные неравенствами вводят доп. переменные со знаком +, если ограничение имеет вид неравенства ≤, и со знаком – если ограничения имеют вид неравенства ≥. Канонической формой записи ЗЛП – запись с использованием знаков суммирования.



33. Основные свойства задачи линейного программирования.

В основе матем. метода получения оптимального решения лежат основные свойства ЗЛП: 1.Не сущ. локального экстремума отличного от глобального. Если экстремум есть, то он единственный. 2.Множество всех планов ЗЛП яв-ся выпуклой многогранной областью (многогранником решения). 3.ЦФ в ЗЛП достигает своего max (min) значения в угловой точке многогранника решения (в вершине). Если ЦФ принимает max решение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек. 4.Каждой угловой точке отвечает опорный план ЗЛП (не отрицательное базисное решение соответствующей КЗЛП).


34. Особые случаи решения ЗЛП графическим методом.

Если линия уровня параллельна какому-либо функциональному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей м/у двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек яв-ся оптимальным решением ЗЛП. Если область доп. решений яв-ся незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении оптимизации ЦФ, то ЦФ будет неограниченной и ЗЛП не будет иметь решений. Также ЗЛП не будет иметь решений в случае, когда ОДР есть пустое множество, т.е. с-ма ограничений ЗЛП содержит противоречивые неравенства, и на координатной плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей этим ограничениям. Н-р 1.max (3x1+5x2) ограничения: x1+x2 ≥ 2; 4x1+2x2 ≤ 2 при x1,2 ≥ 0. Задача неразрешима, вследствие противоречивости ограничений. 2. max (3x1+2x2) ограничения: x1-x2 ≤ 1; 2x1+x2 ≥ 1 при x1,2 ≥ 0. Задача неразрешима вследствие неограниченности ЦФ на ОДР. 3.Случай не единственности решения max (8x1+10x2) ограничения: 5x1+x2 ≤ 15; 4x1+5x2 ≤ 40 при x2 ≥ 3; x1 ≥ 0. Линия уровня 8x1+10x2 = a параллельна одной из линий по границе ОДР. Это значит, что задача имеет бесконечное множество оптимальных решений.


35. Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП).

Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, то задача может быть решена графически. Стандартная форма ЛП: , , i=1,2,…m, , j=1,2,…n. Этапы:1.строится многоугольная ОДР. 2.строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) в какой-нибудь точке х0, принадлежащей ОДР. 3.линия уровня – прямая, перпендикулярная вектору-градиенту, передвигается в направлении этого вектора в случае максимизации до тех пор, пока не покинет предела ОДР. Предельная точка или точки области при этом движении и яв-ся точкой максимума . 4.для нахождения координат точки максимума достаточно решить 2 уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение , найденное в получаемой точке, яв-ся максимальным. При минимизации функции линия уровня перемещается в направлении противоположному вектору-градиенту. Если прямая, соответствующая линия уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимум или максимум функции не сущ.


36. Общая задача линейного программирования, основные элементы и понятия.

ЛП – обл. математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач, нахождения экстремума линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных неравенств или равенств, связывающих эти переменные. К ЗЛП сводится широкий круг вопросов планирования эконом. процессов, где ставится задача поиска наилучшего решения. В общем виде ЗЛП ставится следующим образом: Найти вектор Х = (х1, х2, …, хn), максимизирующий линейную форму, и удовлетворяющий условиям , , j=1…n Линейная функция называется целевой функцией задачи, условия наз-ся функциональными, а – прямыми ограничениями задачи. Вектор = (х1, х2,…, хn), компоненты к-рого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, наз-ся допустимым решением ЗЛП. Все допустимые решения образуют область определения ЗЛП. Допустимое решение максимизирующее целевую функцию , наз-ся оптимальным планом задачи , где – оптимальное решение ЗЛП.



37. Задача оптимального программирования в общем виде. Основные элементы и понятия.

Оптимизационные модели отражают в матем. форме смысл эконом. задачи, и отличительной особенностью этих моделей яв-ся наличие условия нахождения оптимального ре­шения (критерия оптимальности), к-рое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяю­щих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального реше­ния, отвечающего критерию оптимальности. В общем виде матем. постановка задачи матем. программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения ЦФ

f (х1, х2, ..., хn) при условиях gi1, х2, ..., хn)  bi; (i =1,2,…m), где f и gi; – заданные функции, а bi – некоторые действительные числа. задачи матем. программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. если все функции f и gi линейные, то соответствующая задача яв-ся ЗЛП. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача яв-ся ЗНЛП. В общем виде ЗЛП ставится так: Найти вектор, максимизирующий линейную форму

и удовлетворяющий условиям

Линейная функцияназ-ся ЦФ задачи. . Условия (2) называются функциональными, а (3) - прямыми ограничениями задачи.

Вектор, компоненты к-рого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, будем называть планом, или допустимым решением ЗЛП. Все допустимые решения образуют область определения ЗЛП, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее ЦФ f(x), наз-ся оптимальным планом задачи, где – оптимальное решение ЗЛП. Реализовать на практике принцип оптимальности значит разработать и получить решение по модели: максимизировать или минимизировать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – матем. запись критерия оптимальности – ЦФ. Max (min) f(x)=f(x1,x2,…,xn), x є D. Обычно, приведенную модель записывают в виде: Max(min) f(x1,x2,…,xn) (1) - ЦФ

g1(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } b1

g2(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } b2 - (2)-функциональные

gn(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } bn

xi ≥ 0, i=1,¯ n - (3 )прямые ограничения
38. Принцип оптимальности в планировании и управлении, его математическая запись.

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое управленческое решение, к-рое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта. Слова «наилучшим образом» в принципе оптимальности на практике означают – выбор некоторого эконом. показателя, позволяющего сравнивать, оценивать эффективность управленческих решений Х, т.е. выбрать критерий оптимальности. Критерии оптимальности: min себестоимости продукции, max прибыли от реализации, max рентабельности. Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия» на практике означают, что на выбор управленческого решения Х накладывается ряд ограничений, т.е. выбор Х осущ. из некоторой области допустимых решений D. Реализовать на практике принцип оптимальности значит разработать и получить решение по модели: максимизировать или минимизировать функцию f(x) при ограничениях, где f(x1,x2,…,xn) – матем. запись критерия оптимальности – ЦФ оптимизационной модели.



Max(min) f(x1,x2,…,xn)

g1(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } b1

g2(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } b2

gn(x1,x2,…xn) {≤ , = , ≥ } bn

xi ≥ 0, i=1,¯ n


39. Основные этапы в процессе использования математических методов в финансово-экономических расчетах.

В процессе решения эконом. задач с применением матем. методов можно выделить 4 основных этапа: 1.Постановка эконом. задачи, проблемы. Здесь осущ. описание экономико-организационной задачи. 2.Матем. моделирование. Здесь разрабатывается ЭММ задачи. 3.Получение решения по модели. Здесь осущ. реализация ЭММ. 4.Внедрение полученного решения. Разработка рекомендаций, предложений в доступном и наглядном виде для работника. В процессе исследований и принятия решений с помощью ЭММ приходится возвращаться заново на те или иные этапы.




40. Экономико-математическая модель (ЭММ). Понятие, пример, общая классификация ЭММ.

Основным методом исследования систем яв-ся метод моделирования, т. е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей. Экономико-математическая модель (ЭММ) – образ эконом. объекта, примерно воссоздаваемый с помощью математического языка. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е возможности изучения реального объекта не непосредственно, а через рассмотрение ему подобного и более доступного объекта, его модели. Этапы экономико-математического моделирования: 1.постановка эконом. проблемы и ее качественный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. 2.построение математической модели. Это этап формализации эконом. проблемы, т. е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей. 3.математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решения. 4.подготовка исходной информации. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятности, теоретической и математической статистики для организации выборочных исследований, оценки достоверности данных. 5.численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ. 6.анализ численных результатов и их применение. На этом этапе решается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования. По общему целевому назначению ЭММ делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей эконом. процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных эконом. задач анализа.


База данных защищена авторским правом ©ekonoom.ru 2016
обратиться к администрации

    Главная страница